环面拓扑中的等变配边分类问题

The bordism is a basic equivalence relation in the research of topology. The equivariant bordism theory is equivarint complex and charming, and the calculation of equivariant bordism rings is quite difficult. In recent years, topology, combination, algebraic geometry and other disciplines are intersecting, producing a new field named toric topology. Through the previous work, the applicant found that the toric topology provided intuitive combination object for the equivariant bordism problem, such as coloring polytopes and coloring graphs, and provided new technology and powerful tools for the calculation of equivariant bordism ring, which could solve the important problems of equivariant bordism theory. Based on previous work, this project hopes to develope new methods of toric topology, simplify localization theorem, expand the application of toric topology in equivariant bordism theory, so as to solve the equivariant bordism problems of manifolds under torus group actions. This will help the integration of various disciplines and deepen our understanding of toric topology and equivariant bordism theory.

配边关系是拓扑学中的一个基本等价关系，等变配边理论复杂而迷人，等变配边环的计算困难重重。近年来，拓扑、组合、代数几何等学科交叉融合，产生了环面拓扑这一新的研究领域。通过前期工作，申请人发现，环面拓扑为等变配边问题提供染色多面体、染色图等直观的组合对象，为等变配边环的计算提供了新的技术和有力工具，可以解决等变配边中的重要问题。本项目期望在前期工作的基础上，通过发展环面拓扑新方法，简化局部化定理，加大环面拓扑在等变配边问题中的应用，解决环面群作用下流形的等变配边相关问题。这将有助于各学科的融合，加深我们对环面拓扑和等变配边理论的认识。

配边关系是拓扑研究中的基本等价关系，等变配边理论研究带群作用的流形的配边分类，这一直是代数拓扑研究中的一大难题。环面拓扑考虑模2环面群和紧环面群作用下的流形分类，对应于代数几何中的环面代数簇，将拓扑信息、GKM染色图、染色多面体、等变同调和等变配边环、群表示论等融为一体，其中两个经典的模型为GKM图理论和由Davis等建立的small covers、quasitoric manifolds。.本青年基金项目的研究内容之一为模2环面群作用下光滑闭流形的等变配边分类，特别是不动点为孤立点时的等变配边群的结构问题。在吕志教授和本人前期的一篇文章中证明，当流形的维数m等于群的维数n时，等变配边群由所有的small covers生成，此时等变配边群作为向量空间的维数一直难以计算。根据Davis他们的理论，small covers可由万有复形刻画。此时我们发现，等变配边群和万有复形的最高维同调群同构，根据万有复形的同伦型，我们成功的找到了等变配边群的维数计算公式。同时，我们给出原文章中关于生成元的定理的新证明。当m>n时，我们需要推广m=n时的方法，作为特例，计算n=3且m=5,和n=4且m=5时的等变配边群及其生成元，发现这两个群中的代表元都可以由small covers通过一些运算生成。.本项目的研究内容之二是紧环面群作用下的复等变配边分类，研究孤立不动点时的等变配边群的结构和生成元问题。当m=n时，类似于模2环面群的情况，我们证明了等变配边群同构于万有复形的最高维同调群，由此证明了计划书中提到的猜想，即等变配边群由带全局定向（omniorientation）的所有的quasitoric manifolds生成，群中每一个元素都含有一个这样的流形作为代表元。当m > n时，我们需推广这一方法，定义了Conner-Floyd表示代数的对偶及其上的微分算子，并由此将等变配边转化为同调。.同样定义了一些微分算子和相应的关系。.本项目中的工作将等变配边和通常的同调群建立了深刻的联系，通过同伦型的研究，证明了项目中提到的猜想，为以后的等变配边理论提供了全新的方法。