流形的几何刚性、拓扑刚性和微分刚性研究

We mainly study the geometric, topological and differentiable rigidity of Riemannian manifolds and submanifolds under new curvature pinching condition. Applying the Ricci flow, we will study the open problem that if there exists an Einstein metric of a Riemannian manifold satisfying some Ricci curvature pinching condition. We will investigate the rigidity of the Einstein manifolds and submanifolds under new curvature pinching condition. We will study the geometric, topological and differentiable rigidity for odd dimensional submanifolds in space forms under optimal Ricci curvature pinching condition. We will investigate the convergence of the Ricci flow for compact submanifolds and the applications in the curvature and topology. We will also study the convergence of the mean curvature flow for compact submanifolds of higher codimension under integral curvature pinching condition. Based above, we use the modern methods in global Riemannian geometry and geometric analysis to prove the differentiable sphere theorems of compact submanifolds under new curvature pinching condition. This research has important academic and applied values.

着重研究黎曼流形与黎曼子流形在新的曲率拼挤条件下的几何刚性、拓扑刚性和微分刚性问题。运用Ricci流，研究满足一定Ricci曲率拼挤条件的黎曼流形上是否容许一个Einstein度量这一公开问题。 研究新的曲率拼挤条件下紧致Einstein流形与Einstein子流形的刚性问题。研究最佳Ricci曲率拼挤下常曲率空间形式中奇数维子流形的几何刚性、拓扑刚性和微分刚性问题。研究紧致子流形上Ricci流的收敛性问题及其在曲率与拓扑中的应用；研究任意余维紧致子流形上平均曲率流在曲率积分拼挤条件下的光滑收敛性问题。结合上述研究内容，运用整体黎曼几何与几何分析的现代方法，证明黎曼子流形在新的曲率拼挤条件下的微分球面定理。本课题具有重要的理论意义和应用价值。

本项目研究了黎曼流形与黎曼子流形上的几何刚性、拓扑刚性和微分刚性。在关于数量曲率和Ricci曲率的拼挤条件下，证明了非负常曲率空间形式中奇数维紧致子流形的最佳拓扑球面定理，获得了非负常曲率空间形式中偶数维紧致子流形的新的最佳拓扑球面定理；获得了第2个弱Ricci曲率拼挤条件下空间形式中紧致子流形的拓扑球面定理。在更优的Ricci曲率拼挤条件下，证明了空间形式中具有非零平行平均曲率向量的3维紧致子流形的几何刚性定理；获得了Ricci曲率拼挤条件下正拼挤黎曼流形中3维紧致平行平均曲率子流形的分类定理，改进并推广了广义Ejiri刚性定理。在截面曲率拼挤条件下，证明了空间形式中紧致Einstein子流形的几何刚性定理。在新的截面曲率拼挤条件下，获得了一般黎曼流形中紧致子流形在Ricci流下的收敛性定理。关于单位球面中常平均曲率闭超曲面的广义陈省身猜想，证明了具有常数量曲率和非零常平均曲率闭超曲面的一个新的空隙定理；并推广到了空间形式中具有常平均曲率和常数量曲率完备超曲面的情形。在无迹第二基本形式积分拼挤条件下，证明了欧氏空间中任意余维的完备平移孤立子是仿射子空间。在关于拉格朗日无迹第二基本形式的逐点或积分拼挤条件下，证明了复空间形式中一类拉格朗日子流形几何刚性定理。获得世界华人数学家联盟最佳论文奖(若琳奖)2项。