调和分析中几类分数次问题及其应用

The problems of fractional correlation are always one of the core contents of harmonic analysis.Fractional integral,fractional Fourier transform and fractional capacity have a wide application in the field of partial differential equations,potential analysis and signal processing. The applicant and his collaborators have studied several fractional integrals and fractional capacity.This project aims to further study some problems related to fractional integral,fractional Fourier transform and their applications in fractional capacity and fractional Bochner-Riesz means,including the characterization of function spaces by the compactness of commutators for fractional integral operators;perfect one dimensional fractional Fourier transform theory;establish the high dimensional theory of fractional Fourier transform and then define and study fractional Bochner-Riesz means;With the boundedness and compactness of fractional integral on function spaces,we study the basic properties,equivalent characterization,potential theory of fractional Sobolev type capacity and its applications to the initial boundary value problems of fractional partial differential equations.

与分数次相关的问题一直是调和分析的核心研究内容之一.分数次积分、分数阶傅里叶变换和分数次容量在偏微分方程、位势分析以及信号处理等领域都有广泛的应用.申请人与合作者在相关于分数次积分和分数次容量方面进行了系列研究.本课题拟进一步研究与分数次积分和分数阶傅里叶变换相关问题及其在分数次容量和分数阶Bochner-Riesz平均等问题中的应用,其中包括利用分数次积分交换子的紧性刻画函数空间;完善一维分数阶傅里叶变换理论;发展高维分数阶傅里叶变换的理论并引进和研究分数阶Bochner-Riesz平均;结合分数次积分在各类函数空间中的有界性和紧性等性质系统研究分数次Sobolev型容量的基本性质、等价刻画、位势理论及其在分数阶偏微分方程初边值等问题中的应用.

与分数次相关的问题一直是调和分析的核心研究内容之一. 分数次积分、分数阶傅里叶变换和分数次容量在偏微分方程、位势分析以及信号处理等领域都有广泛的应用. 申请人与合作者在相关于分数次积分和分数次容量方面进行了系列研究, 研究了与分数次积分和分数阶傅里叶变换相关问题及其在分数次容量等问题中的应用, 包括1)利用 Riesz 位势型、Hardy 型分数次积分算子(含光滑核、非光滑核) 交换子的紧性刻画中心型函数空间; 2)完善一维分数阶傅里叶变换理论, 发展高维分数阶傅里叶变换的理论, 利用分数阶傅里叶变换的特殊结构, 通过引入一类特殊的Chirp算子, 研究分数阶傅里叶变换的Lp理论(1 ≤ p < 2). 利用分数阶高斯和阿贝尔平均, 研究分数阶傅里叶逆变换, 得到分数次卷积的正则性和分数阶傅里叶变换平均的点态收敛性, 讨论了与分数阶傅里叶变换相关的Littlewood-Paley 定理和L p 乘子理论; 3)结合分数次积分在各类函数空间中的有界性和紧性等性质系统研究分数次Sobolev型容量的基本性质、等价刻画、位势理论及其在分数阶偏微分方程初边值等问题中的应用, 利用不依赖于傅里叶变换的方法, 借助分数次容量相关估计得到分数次热半群核的衰减估计, 进而得到分数次色散方程柯西问题的正则性; 4)另外, 项目组还研究了带有不定位势的非线性分数阶Schrӧdinger方程稳态解的存在性与多重性的, 证明了两种多重线性分式算子具有相同的弱和强类型估计, 建立了多线性分数阶积分的极限弱型行为; 研究了非线性薛定谔-基尔霍夫型方程用变分方法研究R3中的幂非线性, 证明了该方程正径向解的存在性. 在单位球面上对核函数附件一定条案件下, 得到广义参数型Marcinkiewicz 积分的强Lp有界性; 研究了序列极大似然估计的性质平方径向Ornstein-Uhlenbeck过程的未知参数, 证明向量扰动Dirac算子解的Schwarz引理空间R3的积分表示公式. 利用Clifford 分析方法, 得到非线性黎曼型问题的存在唯一性并给出高维空间逼近解的误差估计.