导出等价及同调猜想

Derived categories and derived equivalences, which right now hot research topics, occur widely in a number of mathematical fields. For example, algebraic geometry, the representation theory of algebras, Lie algebras, combinatorics. Moreover, there is a relationship between derived equivalences and the famous Abelian defect conjecture-Broué Abelian defect conjecture in the representation theory of finite groups. One of the fundamental problems in this field is how to construct derived equivalences between rings. We construct derived equivalences in n-angulated categories, which establishes a connection between higher cluster theory and derived equivalences. By derived equivalences, we also show that the finitistic dimension conjecture holds for several classes of algebras. This project is mainly about the construction of derived equivalences, the invariants of derived equivalences and their applications such as the finitistic dimension conjecture. It contains the following points. Firstly, we will construct derived equivalences between subrings in triangulated categories. Meanwhile, we will try to construct derived euiqvalences from the given ones. Secondly, some invariants under derived equivalences will be given. Finally, we will caculate the finitistic dimensions of tilted triangular rings, and study the finitistic dimension conjecture.

导出范畴与导出等价在代数几何、表示论、李代数、组合以及数学物理等多个领域里有着十分广泛的应用。不仅如此，它们还与群表示论中的中心问题Broué猜想紧密相关。它们是当前国际上十分活跃的课题。在导出等价中，一个基本的问题是：如何构造环之间的导出等价。我们在n-angulated范畴中构造了导出等价，给出了高维cluster理论与导出等价之间的联系。我们利用导出等价给出了一些满足同调代数中著名猜想- - 有限维数猜想的代数类。本项目将继续深化这些研究成果，并围绕着导出等价以及有限维数猜想进行以下研究：1、在三角范畴中构造子环之间的导出等价。从已有的导出等价构造新的导出等价。2、找到新的导出等价下的不变量。3、给出tiled triangular环的有限维数估计式，利用导出等价继续研究有限维数猜想。

导出范畴与导出等价在代数几何，代数和群表示论，非交换几何里发挥着重大的作用。群表示理论中的核心猜想Broue猜想；非交换几何中的镜面对称猜想，NCCR猜想等。本项目的主要任务在于导出等价的构造，以及利用导出等价去研究代数表示论里的重要猜想——有限维数猜想。在导出等价的研究中，一个比较困难的问题是：如何来构造导出等价？通过前期的理论发展，我们已经知道在加法范畴中具有逼近性质的序列可以给出一对环之间的导出等价。在本项目里，我首先研究了如果构造子环之间的导出等价，我的结果是在Abelian范畴中，任意一个短正合列都可以给出一对子环的导出范畴的三角等价；其次，在与他人的合作中，我考虑了导出等价与逼近，ghost的关系。我们的结果表述为加法范畴或是三角范畴中的一个逼近序列都可以提供商代数关于ghost理想之间的导出等价。这个结果覆盖以往的一切结果，更为重要的是，它给出了导出等价与逼近序列之间的深层次的联系。即：在加法范畴中相应的ghost理想消失。在三角或是n角范畴中，考虑的商环恰好是关于ghost理想的商环。并且这样的导出等价并不唯一。因此，这个结果给出了从序列构造导出等价的统一形式。另外，ghost理想在研究导出维数与表示维数中经常出现。这引导着我们去思考ghost理想与导出等价的联系。在整个项目中，我们也进一步考虑的与导出等价密切相关的奇异等价。两者具体的关系是：导出等价一定是奇异等价。但是，奇异等价未必是导出等价。我们证明了：Support variety理论是由双模诱导的奇异等价下的不变量。特别地，Support variety理论是Morita型稳定等价下的不变量。这个结果的意义在于：找到的奇异等价特别是Morita型稳定等价下的不变量，为判断两个代数是否奇异等价或是Morita型稳定等价提供了新的依据。我与他人合作证明了不可分解自入射代数是导出单代数。从而，自入射代数满足满足导出若当霍德定理。利用我们的结果，我们证明了Brauer，BMW，Partition三类代数是自入射的当且仅当它们是对称的当且仅当它们是Frobenuis当且仅当它们的一个块代数Morita等价与对称群群代数或是对称群的Hecke代数上的矩阵代数。从而，我们给出了这三类自入射代数的完整分类。