跳跃扩散随机常微分方程的线性多步法及其应用

Stochastic ordinary differential equations with jump-diffusion are widely used in financial system, control system and system biology and other fields. This project focuses on the multi-step methods for the stochastic ordinary differential equations with jump-diffusion. We will construct the linear multi-step methods, split-step multi-step methods for the stochastic ordinary differential equations with jump-diffusion and implicit multi-step methods for the stiff stochastic ordinary differential equations with jump-diffusion. The research results of this project will enrich and develop the theory for the numerical solution of stochastic ordinary differential equations with jump-diffusion, provide new ideas and new approaches for the related problems of stochastic ordinary differential equations with jump-diffusion, but also have very important theoretical significance and potential application prospects.

跳跃扩散随机常微分方程在金融系统、控制系统和系统生物等领域具有十分广泛的应用。本项目重点研究跳跃扩散随机常微分方程的多步方法及其应用，主要内容包括跳跃扩散随机常微分方程的线性多步法、分裂步多步法及跳跃扩散随机常微分方程刚性问题的隐式多步法。本项目的研究成果将丰富和发展跳跃扩散随机常微分方程的数值计算理论，为跳跃扩散随机常微分方程等相关问题的数值计算提供新思路和新途径，具有十分重要的理论意义和潜在的应用价值。

随机常微分方程在金融系统、数量经济、控制系统、系统生物等方面具有十分广泛的应用。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的随机常微分方程大多不能给出解的解析表达式。所以，很有必要研究随机常微分方程的数值方法。本项目研究了随机常微分方程的多步方法，主要内容括随机常微分方程的广义两步Milstein方法、确定性隐式两步Milstein方法和带Poisson跳随机常微分方程的Theta-Milstein方法,两步Maruyama方法及其数值分析。主要研究内容和成果如下：.首先，基于一般的随机常微分方程两步Milstein方法和随机Taylor展开式，提出了数值求解随机常微分方程的广义两步Milstein方法，该方法和一般的Milstein方法相比是保留了随机Taylor展开式中较多的项。分析了广义两步Milstein方法的均方收敛性、均方线性稳定性所需的条件。通过比较广义的Adams型两步Milstein方法和一般的两步Milstein方法来表明所提出的数值方法具有较好的稳定性，并利用数值例子验证了理论结果。.其次，为提高数值方法的稳定性，我们把隐性项引入到扩散项系数中，提出了数值求解随机常微分方程的确定性隐式两步Milstein方法。分析了数值方法的均方收敛性和均方线性稳定性，比较了几类确定性隐式两步Milstein方法和通常的两步Milstein方法的均方线性稳定性区域，通过数值算例验证了理论分析的结果。.再次，引入了补偿的Poisson过程，提出了带Poisson跳的随机常微分方程补偿的Theta-Milstein方法。根据带Poisson跳的Ito-Taylor展开式，给出了数值方法均方收敛性证明，分析了数值方法的渐近均方稳定性。讨论了，数值方法中Theta的取值与线性检验方程的稳定性区域、Theta-Milstein方法稳定性区域之间的关系。.最后，提出了数值求解带Poisson跳随机常微分方程的两步Maruyama方法。研究了数值方法的均方收敛阶为1/2所需的条件，讨论了数值方法的均方线性稳定性。比较了Adams型两步Maruyama方法和单步Maruyama方法的均方线性稳定性区域，通过数值验证了两步Maruyama方法的均方收敛阶及较单步Maruyama方法具有更好的稳定性。