Auslander-型环类中几个问题的研究

Auslander-型环类是同调代数和代数表示论的重要和热门研究对象，和许多重要的猜想有着密切联系。近来有结果表明：Auslander-型环类的某些特殊代数还与代数表示论中的热门研究对象Cluster代数以及倾斜代数密切相关。本项目致力于研究Auslander-型环类的对称性，争取为包括Gorenstein对称猜想等在内的一些猜想的最终解决提供理论支持；以及研究Auslander-型环中包括Gorenstein模类和半对偶化模类在内的一些特殊模类的性质及应用。本项目申请者在这些方面的研究中已取得了一些成果，本项目实际上是申请者博士毕业研究课题的延续和深入。

Auslander-型环类是同调代数和代数表示论中的重要和热门研究对象，和许多重要的猜想有着密切联系。本项目主要研究了Auslander型环上的对称性和Auslander型环上的一些特殊模类。主要的结果包括：（1）引入了挠自由维数的概念，证明了每个有限生成左R模有不超过n的挠自由维数，则R有不超过n的右自射维数，进而证明了R具有不超过n的内射维数的Gorenstein环当且仅当每个有限生成左模有不超过n的Gorenstein投射维数当且仅当每个有限生成右模有不超过n的Gorenstein投射维数（左右对称性）。（2）引入了具有Auslander n- Gorenstein 性质模的概念，研究了具有Auslander n- Gorenstein 性质的环与模的性质。给出了Auslander n- Gorenstein环的新的刻画，即:环R 是Auslander n- Gorenstein 环当且仅当每个有限生成orenstein投射模具有Auslander n- Gorenstein 性质，当且仅当由全体具有Auslander n-Gorenstein性质的模组成的子范畴是反变有限resolving的。（3）研究了在表示论中起重要作用的环类--上三角矩阵环上的Auslander型条件，证明了R是Gn(k)的当且仅当任意阶上三角矩阵环也是Gn(k)的。本项目发表三篇文章，其中SCI收录2篇，中文核心期刊文章1篇。圆满完成研究计划，为一些猜想的最终解决提供了有力的理论支持。