拟线性Schrödinger型方程的适定性和爆破性

The derivative nonlinear Schrödinger equations and Davey-Stewartson systems are important models in physical fields including plasma. Both models possess many important physical and mathematical properties. In this project, we are going to apply the theories of partial differential equations, harmonic analysis, functional analysis and variational principles, to study the well-posedness and stablity theories, and dynamics of blow-up solutions for these two kinds of quasilinear Schrödinger-type equations. We will pay special attention to the critical mass thresholds of well-posedness and exact profiles of blow-up solutions. More precisely, the main topics are the following..1. We are planning to study the stability theories on the derivative nonlinear Schrödinger equations and the generalized derivative nonlinear Schrödinger equations, by using the variational principle and modulation theory..2. We will study the existence of the blow-up solutions on the derivative nonlinear Schrödinger equations and the generalized forms by applying Glassey's argument, variantional principle and the spectral theory. We will also study the critical mass thresholds of well-posedness and blow-up solutions..3. Making use of the variational principle, the concentration compactness principle and multi-scaling analysis to study the dynamics of the blow-up solutions to the Davey-Stewartson equations. Moreover, we will use the harmonic analysis to study the well-posedness of the Davey-Stewartson equations.

导数Schrödinger方程和Davey-Stewartson 型方程组都是等离子体物理等领域中的重要模型，有重要的物理和数学性质。本项目拟运用偏微分方程、调和分析、泛函分析、变分方法的理论研究这两类模型的适定性，孤立波的稳定性，爆破解的动力学性质，特别是适定性和爆破性的临界质量阀值和爆破解的精确轮廓（exact profiles）。主要内容包括.1. 拟运用变分法和调制稳定性理论，研究导数Schrödinger方程及其广义型方程孤立波解的稳定性和不稳定性。.2. 拟运用Glassey方法，变分法及谱理论，研究导数Schrödinger方程及其广义型方程爆破解的存在性，刻画适定性和爆破性的临界质量阀值。.3．拟运用变分法，集中紧原理和多尺度分析方法研究Davey-Stewartson方程爆破解的动力学性质；运用调和分析方法研究Davey-Stewartson方程的适定性理论。

导数非线性Schrödinger方程和Davey-Stewartson 型方程组都是等离子体物理等领域中重要的非线性模型，有重要的物理和数学性质。在该项目执行期间我们研究了非线性Schrödinger方程和Davey-Stewartson方程组整体解的存在性和散射性、爆破解的动力学性质、低正则性解的无条件唯一性、导数非线性Schrödinger方程孤立波的稳定性理论。特别是关于导数非线性Schrödinger方程在孤立波的稳定性方面取得较大进展。早前人们已经知道导数非线性Schrödinger方程有一类双参数的孤立波解，被证明非端点情形是稳定性的。但在端点情形（临界、退化）情形，孤立波的稳定性一直以来是个悬而未决的问题。我们研究了孤立波的不稳定性，证明了临界情形孤立波解的不稳定性；在端点情形，在去掉伸缩、平移和旋转群后孤立波是稳定的;作为推论，如果端点情形孤立波不稳定，只可能是几何不稳定；退化情形孤立波是不稳定的。结合前人工作，完整地建立了该方程孤立波的稳定性理论。.我们还研究了高维粘性随密度变化的Navier-Stokes方程的适定性。我们把Chemin，Gallapher等人提出的关于经典NS方程组的“非线性小”的概念应用到高维粘性随密度变化的不可压缩流体力学方程组，我们证明了方程在的整体适定性，后来还把这个研究推广到了可压缩流体力学方程组、MHD方程组。对于可压缩2D无磁扩散的MHD方程组，我们证明了系统整体解的存在性并给出了解的最佳衰减估计。我们还研究了Boltzmann方程组的不可压缩Euler极限问题。把光滑解在高阶Sobolev空间中的极限问题（ CPAM， 1989)推广到L^2\cap L^\infty 弱解情形，去掉了关于余项零初值的假设条件，建立了余项的一致估计。.除此之外，我们研究了广义KdV方程、浅水波方程的初值问题和周期初值问题，得到了在低正则性空间中的适定性和正则性的临界指标。