数值求解流形上的偏微分方程的离散外微分方法及其保结构等性质研究

应用离散外微分方法数值求解流形上的偏微分方程: 推导并实现流形上的Maxwell方程组、非线性薛定谔方程等的交替方向隐格式. 将我们提出的流形上的Maxwell方程组的显格式推广并应用到计算流形上的Yang-Mills方程组, 证明其具有规范不变性. 推导并实现流形上的非线性薛定谔方程和Klein-Gordon方程等的显式、隐式、Box式等格式. 对于显式与Box格式, 证明其是离散Hamilton系统, 保持辛结构. 推导并实现流形上的流函数-涡量方程的计算格式. 离散外微分方法的优势在于可以数值计算流形上的微分方程, 针对具有复杂几何结构的曲面上的计算问题尤为有效, 而有限差分法等则无法直接求解. 对于一些可以简化为在二维流形上计算的三维问题, 离散外微分方法能极大地减少计算量. 我们现已开发出部分计算程序, 并引起了Wolfram Research公司的关注.

离散外微分方法的优势在于可以数值计算流形上的微分方程, 针对具有复杂几何结构的曲面上的计算问题尤为有效, 而有限差分法等则无法直接求解. 对于一些可以简化为在二维流形上计算的三维问题, 离散外微分方法能极大地减少计算量. 本项目中，我们应用离散外微分方法数值求解流形上的偏微分方程。主要包括：推导并实现了流形上的Maxwell方程组、非线性薛定谔方程等的交替方向隐格式.推导并实现了流形上的非线性薛定谔方程和Klein-Gordon方程等的显式、隐式、Box式等格式. 对于显式与Box格式, 证明了其是离散Hamilton系统, 保持辛结构. 推导并实现了流形上的流函数-涡量方程的计算格式. 此外，我们将流形上的微分方程数值计算方法应用与海量文本数据分析与计算，取得了一系列研究结果. 相关研究结果发表在Appl. Compt. Math., Euro. Phys. Lett.,等杂志上.