连续时间马尔可夫链近似在期权定价中的理论与应用问题研究

Developing new option pricing algorithms is a long standing hot topic in both industry and academia. Recently, continuous time Markov chain (CTMC) approximation have found many applications in the option pricing literature, and it has been proved to be efficient, stable, and applicable to all kinds of options under general Markovian models. The basic idea is to approximate the original model with a CTMC living in a discrete state space, and then do pricing under the approximating model. When the number of grid points in the state space goes to infinity, we can expect approximate option prices converge to the exact ones. The project plans to solve the remaining theoretical issues and explore further applications. First of all, we will characterize the sharp convergence rate of option prices in non-uniform grid case, which can help us design grid strategically to achieve the optimal convergence behaviors. Moreover, we will also discuss how to calculate option price sensitivities and analyze their convergence rates, which are very important for model calibration and hedging. Based on these theoretical developments, we plan to extend CTMC approximation to various exotic options, including but not limited to loopback options and Asian options.

期权定价算法的开发一直以来都是业界与学术界共同关心的问题。最近连续时间马尔可夫链近似在期权定价里得到了非常广泛的应用，并被证明是一种快速，稳定而且广泛适用于各类马尔可夫模型，多种类型期权的方法。其基本的思想是用状态空间为离散格点的马尔可夫链模型去逼近原来的模型，并在这个近似模型下做定价。当马尔可夫链状态空间的格点数趋于无穷大的时候，近似的期权价格会趋近于真实价格。本项目计划着力解决一些相关的理论与应用问题：（1）在非均匀格点的情形下，利用特征函数展开，解决期权价格的收敛速度证明这一悬而未决的问题，并讨论如何设计格点分布得到最优的收敛性质；（2）研究如何在马尔可夫链近似的框架下计算期权价格的敏感性并分析收敛行为；（3）将马尔可夫链近似方法及理论结果推广到其他的奇异期权，包括但不限于亚式期权和回望式期权。本项目预期得到的结果对于马尔可夫链近似方法及期权定价具有重要的理论与应用意义。

近年来连续时间马尔可夫链近似已成为衍生品定价的一种重要计算方法，本项目致力于研究这类方法的收敛速度问题并推广其应用，并在此基础上探索改进算法表现的方法。具体来说：（1）本项目证明了在一维扩散模型欧式和障碍期权下非均匀格点马尔可夫链近似一般具有一阶的收敛速度；（2）当回报函数的间断点正好位于两个相邻格点正中间时，收敛速度能够达到二阶，这直接推导出最优格点的中点设计法则；（3）通过数值实验，本项目表明这类格点也能够在跳模型以及跳-扩散模型下得到很好的效果；（4）本项目也利用马尔可夫链近似提出了回撤衍生品、粘性扩散模型等问题的一般性计算方法并严格证明了收敛性。这些成果加深了人们对马尔可夫链近似收敛性的理论认识，对于这类算法的设计具有较强的指导意义，同时也拓宽了马尔可夫链近似的应用场景。