切换跳扩散过程及其应用

This project is focused on regime-switching jump diffusion processes determined by weakly coupled Levy type operators. Such processes, which can be regarded as generalizations of regime-switching diffusion and jump diffusion processes, have broad application backgrounds. One distinctive feature of weakly coupled Levy type operator is that it contains differential, difference and integral operators and their interdependence and interactions. Consequently, the corresponding regime-switching jump diffusion processes are highlighted by the coexistence of and intertwinements between the continuous (drift and diffusion) and discrete (switching and jump) events. Such processes on one hand provides a versatile and unified framework for many real-world applications and, on the other hand, are difficult to analyze qualitatively and quantitatively. The specific aims and anticipated results of this project are as follows: (i) to establish existence and uniqueness results for regime-switching jump diffusion processes via investigating the martingale problem for weakly coupled Levy type operators and the corresponding stochastic differential equations; (ii) to study Feller, strong Feller, almost sure stability, exponential ergodicity, strong ergodicity, estimates on the ergodicity convergence rates for regime-switching jump diffusion processes; (iii) to obtain large deviation principles for such processes with small parameters and two-time scales; (iv) to investigate optimal stochastic control problems for regime-switching jump diffusions and their applications in areas such as mathematical finance, inventory control, and risk management. It is expected that the research finding of this project will facilitate applications of regime-switching jump diffusions in real-world applications and further stimulate research interests and topics in stochastic analysis.

本项目将研究由弱耦合Levy型算子决定的切换跳扩散过程，这类过程是切换扩散过程和跳扩散过程的推广，具有广泛的应用背景。弱耦合Levy型算子是一种非常重要的非局部算子，其中含有一阶微分、二阶微分、积分和差分四部分算子，且这四部分算子之间相互关联，从而使得相应的切换跳扩散过程的漂移部分、扩散部分、跳部分和切换部分之间相互依赖，具有交互作用，研究难度大，在理论和应用两方面都具有重要的科学意义和研究价值。从弱耦合Levy型算子出发，我们首先通过鞅方法和随机微分方程方法两种途径，研究相应的切换跳扩散过程的存在唯一性。我们还将研究这类过程的Feller性、强Feller性、几乎处处稳定性、指数遍历性、强遍历性、以及遍历的收敛速度估计等重要概率性质；研究含小参数和两时间尺度的这类过程的大偏差原理；研究这类过程的随机控制与优化问题,以及在数理金融，库存控制，风险管理等领域中的应用。

机制切换跳扩散过程是具有广泛应用背景的模型，这类过程是机制切换扩散过程和跳扩散过程的推广。本项目考虑机制切换跳扩散过程的Feller性，强Feller性，稳定性，指数遍历性，大偏差，以及随机控制与优化问题，开展了以下几方面的研究工作。（1）研究了一类机制切换跳扩散过程，其中切换分量具有可数无穷多个机制。应用交织程序，证明了所研究过程的存在唯一性；进一步综合运用耦合方法和 Radon-Nikodym 导数方法，证明了这类过程的 Feller 性，强 Feller 性， 以及指数遍历性。（2）研究了一类弱耦合Levy型算子的鞅问题。在比较弱的条件下，证明了鞅问题的适定性，唯一决定一个强马氏过程，称之为具有Levy跳的机制切换跳扩散过程。利用耦合方法，在非Lipschitz条件下，证明了这一过程具有Feller和强Feller性。（3）对于具有超线性和非Lipschitz系数的跳型随机微分方程，建立了解非爆炸的充分条件，解轨道唯一的局部非Lipschitz充分条件。在局部非Lipschitz条件下，利用耦合方法研究了Feller性和强Feller性，推导出了不可约和指数遍历的充分条件。（4）利用既关于连续分量又关于离散分量的离散时间观测，研究了机制切换系统的几乎处处稳定性。取代之前的矩稳定性，提供了关于几乎处处稳定性的充分条件；取代之前的不依赖状态的情形，考察了一般依赖状态的机制切换系统，基于线性算子的谱理论，建立了关于马氏链的指数泛函的估计。进一步，依据关于跳过程的Skorokhod随机微分方程表示和通过构造保序耦合过程，实现了利用不依赖状态的马氏链从上方和从下方来控制依赖状态的跳过程的发展变化，获得了几乎处处稳定性结果。（5）证明了含小参数的跳扩散过程的强Feller性和不变测度的存在唯一性，建立了当小参数趋于零时，不变测度的大偏差原理。（6）考虑了某一种产品的库存模型关于长期平均成本的最优控制问题，运用比较一般的一维扩散过程和脉冲控制来描述库存随时间的变化和订货策略，目标是极小化订货成本和库存费用的长期平均成本。利用非线性优化和随机分析方法，证明了在很一般的条件下，(s,S)订货政策是最优的。