嵌段共聚物平均场框架中的数学问题

In this project, we are interested in mathematical problems relating to modeling of copolymers. Landau-Brazovsky model is employed to approximate and replace the originally complex model. We then investigate mathematical properties of copolymer by considering this approximating model.The Landau-Brazovsky model takes the form of second order variational functional with integral constaints. Several controlling parameters also appear in the model. The integral of the functional is defined on the whole real space, resulting in a lack of compactness of critical sequences. Moreover, the period is itself a variable, which adds extra difficult to the analysis of our problem. In addition, the critical points depend complicatedly on the controlling parameters. The problems has not been carefully studied in the literature and so a thorough investigation is needed. Besides we also try to design efficient simulation algorithm based on the theoretical results.

我们在自洽平均场理论的框架下，分析嵌段共聚物建模相关的数学问题。嵌段共聚物自由能的初始模型十分复杂，我们运用Landau-Brazovsky模型来近似原本的模型，将原问题进行了简化和近似，通过分析近似模型相关的数学问题来深入了解嵌段共聚物的性质。这一近似模型以二阶变分的形式出现，一阶导数项系数与最高阶导数项符号相反，并带有非线性位势函数，多个控制参数以及外部约束条件。 能量泛函的积分区间为整个实数空间，这使得许多紧性定理不再成立，加之函数的周期也是一个变量，这给寻求临界点带来了困难，另外泛函临界点对于控制参数的依赖关系也十分复杂，这里面有许多数学问题在文献中尚未被深入讨论过，因此需要深入细致地讨论和研究。在对模型有更多理解之后，我们还将考虑如何设计出较好的模拟算法。

嵌段共聚物是材料科学与工程中的重要物质，因其在不同的外界条件下呈现出不同的结晶状态，这种物质可以在适当的条件下进行自组装，形成具有不同特性的材料。正是由于这种自组装能力使得聚合物成为材料科学中的主流研究对象。为了研究聚合物的不同临界状态，我们在平均场框架下对Landau-Brazovsky模型进行研究，在数学上，这是一个变分问题，我们运用变分技巧来寻求临界点，并分析临界点的数学性质。这其中与极小临街序列的紧致性密切相关的数学概念是拟凸性，然而拟凸性本身十分复杂，因此我们对能量泛函进行松弛然后考虑其rank-one凸性。我们的一个重要贡献就是通过偏微分方程对rank-one凸性进行刻画，在粘性解的意义下，泛函或是函数的rank-one凸性包络就是一个偏微分方程的粘性解。于此同时我们利用这一刻画研究了rank-one凸性包络的计算方法，给出了数值算法，并证明了其收敛性。另一方面我们也将此理论与运用到新材料的设计问题中，并证明了，在给定支撑集合的条件下，泛函或是函数的rank-one凸性包络的水平集可以由支撑集合进行rank-one逼近。