Penrose 变换的逆变换及四元切k-Cauchy-Fueter算子

Twistor theory has become an important tool to investigate several complex and quaternionic variables theory. We intend to study the inverse of Penrose transformation by the correspondence between the first cohomology group over open subsets of the complex projective space and the solutions to k-Cauchy-Fueter equations on the quaternionic space,based on the recent work. We hope to give explicit inverse formula of Penrose transformation by the inverse formula of Radon-Penrose transformation and the relationship between the holomorphic functions on subsets of complex projective space and the (0,1)-forms on these subsets. We also want to find explicit integral formula to realize the one to one correspondence between some cohomology and the solutions to tangential k-Cauchy-Fueter equations on the quaternionic Heisenberg group. These work will enrich the theory of Penrose transformation and quaternionic k-Cauchy-Fueter operator and improve the development of theory of several quaternionic variables.

扭子理论已经成为研究多复变量及多四元变量理论的重要工具。本课题将在近年来研究工作的基础上，通过已经建立的复射影空间中某类开集上的一阶上同调类和四元空间中k-Cauchy-Fueter方程的解之间的一一对应，研究Penrose变换的逆变换，拟利用复射影空间中某些开集上的全纯函数和此开集上的(0,1)-形式之间的关系及Radon-Penrose变换的逆公式，给出确切的Penrose变换的逆公式；对已经建立的四元Heisenberg群上的切k-Cauchy–Fueter方程的解和某类上同调群之间的一一对应，寻找相应的积分公式实现此一一对应。这些问题的解决将丰富和完善Penrose 变换理论及四元k-Cauchy–Fueter算子理论，并将推动多四元变量理论的发展。

本课题的研究计划已经完成一大半。通过反对合映射以及对 Radon-Penrose 变换的定义做一个提升，建立了高维Radon-Penrose 变换的逆变换。从而，给出了n维四元空间上的k-正则函数和四元k-Cauchy-Fueter算子的核之间的一个一一对应关系；给出了2维特殊Lagragian geometry 上的一个Monge-Ampere 类型的算子，并给出它类似于复Monge-Ampere 算子的Chern-Levine-Nirenberg估计，从而这个算子可以定义在一般的连续 phi-多次下调和函数上，这里 phi是C^2上的特殊Lagragian calibration；对C^n 上的特殊Lagragian calibration phi ， 给出了phi -正闭流(dd^phi)f 的Lelong 数，这里， f是phi -多次下调和的，并且利用此Lelong 数，给出了这类函数的一个下界估计。