非交换代数上的代数方程及应用

The researches on the solvability conditions and the structural representations of solutions to algebraic equations have been one of the significant topics in algebra for a long time. Nowadays as one important part of contemporary mathematics, algebraic equations are widely and heavily used in many areas such as engineering, system and control theory, computer science, physics, and information science. No matter concerning the development of algebra or solving practical problems, further studying on algebraic equations is essential. ..This proposal focuses on an international leading area: algebraic equations over non-commutative algebras which have very closed relations with system and control theory and quantum computing. The main questions include the solvability conditions, general solutions, structural representations of the solutions to some algebraic equations over non-commutative algebra. Moreover, we will explore their applications in system and control theory and quantum computing...The implementation of this project will contribute to the thorough research of the algebra equations and their practical applications in system and control theory and quantum computing, so as to promote the further development of algebra and its applications.

代数方程可解性及解的结构表示是代数学中的重要研究内容，在数学本身及系统科学、工程、控制论、物理、计算机以及信息等领域都有着重要的应用。无论是代数学本身的发展，还是实际问题的解决，都需要深入研究代数方程。..本项目是非交换代数上代数方程与系统控制及量子计算紧密结合的国际前沿性课题。旨在研究若干非交换代数上代数方程和代数方程群的可解性、通解、各种解的结构表示及其在系统控制和量子计算中的应用。..本项目的实施将有助于非交换代数上代数方程及其在控制和量子计算中实际应用的深入研究，从而推动代数学的进一步发展和应用。

随着高科技的飞速发展，复杂系统控制等实际问题的大数据综合处理需要研究非交换代数上的含有多变量、多方程的矩阵方程群。约束代数方程在量子计算和量子信息处理中也有重要的应用。.本项目主要研究若干非交换代数上复杂的高维（多变元、多方程）矩阵方程群的相容性、通解及各种约束解的结构表示及其在系统控制和量子信息中的相关应用。主要成果如下：.（1）在非交换代数上建立了新的四类多矩阵的同时分解，利用这些新的分解定理与矩阵的广义逆和秩，建立了20类Sylvester型矩阵方程群及5类张量方程群的相容判别准则和一般解、最小二乘解、厄米特解和广义厄米特解的结构表示；建立了两类非线性矩阵方程有厄米特正定解的充分必要条件及有唯一厄米特正定解的充分条件，并给出了求相应解的有效算法。这些结果对多系统的同时控制等有重要应用，譬如，可用来解决多个外部输入和外源输出的几乎非相互作用的控制问题等。.（2）建立了多类矩阵不等式，包括解决并推广了J.C. Bourin不等式猜想和S. Hayajneh、F. Kittaneh关于酉不变模猜想，为量子不确定性理论等研究提供了工具。.（3）量子约束方程及相关研究。用算子理论、表示论等数学工具对量子相干、量子非局域性、量子纠缠等重要的量子资源，进行了度量研究，提出了一些新的满足相干度量准则的度量方法；量子信道是量子信息中的核心问题，我们给出了量子信道的最优界和Choi秩，否定了Choi-Kraus算子表示中的猜想等若干量子信道的研究成果；研究了在量子纠缠判定中起重要作用的完全正定映射等若干算子理论，得到了完全正映射的刻画和与判定准则等若干重要结果。.（4）代数方程群可解判定与求解的计算机实现。我们完成了两个Maple软件包用来在计算机上实现非交换代数上的矩阵方程群的可解判定和求解，这不仅为非交换代数上矩阵代数方程的理论研究提供很大帮助，也为实际应用提供了有效工具。 .（5）以本项目为依托，创建了“上海大学张量与矩阵理论国际研究中心”，主办、承办和合办了11次高规格的大型国际学术会议。.项目组在国际自动化最顶级期刊Automatica等国际权威期刊上发表SCI论文67篇，其中ESI高被引论文5篇；在Springer出版了专著1部。.项目执行期间，培养了3名博士后、6名博士、13名硕士，其中2人获国家研究生奖学金。