一类来源于金融衍生产品定价模型中的自由边界问题

金融产品的运转状况影响着人民的生活水平和社会的稳定，去年的金融风暴就是一例。而金融产品正常运转的必要条件是给它们正确的定价，因此对它们定价模型的研究至关重要。许多金融衍生产品定价模型可以描述为最优停时问题，同时可转化为自由边界问题，其自由边界对应着最佳实施条件。近些年，国内一些学者在姜礼尚教授的带领下，开始用偏微分方程工具更加深入地研究这些问题的性质，如解和自由边界的正则性、关于时间的单调性、渐进性等。这些数学性质是一些经济性质的直接体现，对它们的研究有很强的实际意义。这些自由边界问题一般具有一定的奇性，不同于物理中抽象出的自由边界问题，因此对它们的研究也有着非常重要数学理论价值。目前已有一些利用具体问题的具体特性通过特定的变换和方法得到解和自由边界性质的文章，但还有众多的问题有待研究。因此有必要拓展自由边界问题的研究方法，寻求更一般的方法来解决这些问题，解释、预测和规范现实中的金融市场。

本项目已完满地完成了既定目标。本项目主要研究了一类金融衍生产品的定价问题，这类问题可以通过最优停时问题来描述，而且可以转换为变分不等式问题，然后利用偏微分方程的方法对变分不等式问题的数学性质进行研究，从而揭示原定价问题中的一些金融性质。.具体而言，我们在该项目中完成了如下任务。假定原生资产的价格服从初始时刻t、初始价格S的随机微分方程，其中的漂移项、扩散项是关于t和S的确定型函数，满足一定的条件。假定衍生产品的价格模型可以通过最优停时问题描述，其中衍生产品的价格是一个报酬函数的数学期望（代表在产品生命期中所有收入的现值平均），报酬函数由累积报酬（生命期中持续的收入）和终止报酬（终止时或到期时的收入）组成，其中累积报酬函数和终止报酬函数是t和S的确定型函数，满足一定的条件，其正则性不一定很高。报酬函数大小依赖于停时（用于描述终止（实施）该产品的时机，可以通过已有的信息判断是否实施），产品的持有人可以选取最优的停时（终止时刻，即实施该产品的时机），使报酬函数的数学期望最大。如果最大值存在，则称为该问题的值函数，是t和S的确定型函数，即是该衍生产品的价格；同时称与最大值对应的停时为最优停时，即是持有人的最优实施策略。.我们先利用自己推广的Ito公式证明了验证定理，即其伴随的变分不等式的强解即是该最优停时问题的值函数，而且最优停时可以通过变分不等式对应的自由边界进行刻画。.然后在一定条件下证明了变分不等式的强解存在唯一性；提高了解和自由边界的正则性，证明了自由边界在内部是光滑的，而且解在整体区域上一阶导数(关于t或S)是连续的，在持有区（方程成立区域）中是光滑的。而且证明了，即使漂移项和扩散项是关于t和S的函数，只要条件适当，解和自由边界也是可以关于t和S单调的；但在某些情况下，即使漂移项和扩散项非常简单，解和自由边界也可能关于t和S是非单调的。还给出不同条件下，解和自由边界不同的的上、下界估计，自由边界的起始点。.在一定条件下，证明了有限时区问题（即抛物问题）的解和自由边界在适当的空间内收敛到无限时区问题（即相应的椭圆问题)的解和自由边界。我们还在一定的条件下，将解和自由边界在终止点附近进行渐进展开。.最后我们还对一些问题进行了一定的数值计算，验证了理论证明的结果。