全正基造型方法及其应用研究

Bézier method and B-spline method are the mainstream shape mathematical description methods in CAGD. They have many merits, but they also have deficiency. Hence many scholars dedicated to studying their improvement, and a large number of extended methods have emerged. The extended methods can generally overcome one or more deficiencies of Bézier method and B-spline method, but many literatures do not discuss whether the extended curves have variation diminishing property. This project intends to construct some totally positive blending functions which have similar properties to the classical Bernstein basis or B-spline basis, in some different function spaces. This project has two goals. One is to make the extended curves can inherit the variation diminishing and convex-preserving property of the classical modeling method, so that the extended methods are suitable for conformal design. The other is to make the extended curves and surfaces enjoy shape adjustability and can exactly represent some analytic curves and surfaces as well as progressive iterative approximation property, so that the extended methods can be used in the fields related to geometric design. In addition, this application will study the new iterative format which can make the combination quasi Bézier curves and surfaces keep the continuity after iteration. We will also study the iterative format which has shape-preserving property.

Bézier方法、B样条方法是CAGD中形状数学描述的主流方法，在拥有诸多优点的同时，它们也存在不足。因此不少学者致力于研究这两种方法的改进，大量扩展方法应运而生。扩展方法一般可以克服Bézier方法、B样条方法的一个或多个不足，但很多文献并未讨论所给扩展曲线是否具有变差缩减性。本课题旨在从具有全正性的角度出发，分别在不同的函数空间上构造与Bernstein基、B样条基性质类似的调配函数。一方面使相应扩展曲线能够继承经典造型曲线的变差缩减性、保凸性，从而保证所给方法适合于保形设计；另一方面使相应扩展曲线曲面在具备已有扩展方法的形状可调性，能精确表示解析曲线曲面等优点的同时，还具有渐进迭代逼近性，从而保证所给方法可以在几何设计及相关领域获得应用。本课题还将研究新的几何迭代格式，使得具有一定连续性的组合拟Bézier曲线曲面在迭代以后仍然连续，同时构造具有保形性质的插值型几何迭代格式。

Bézier方法、B样条方法是计算机辅助几何设计中描述自由型曲线曲面的两种主流方法，他们满足对于形状数学描述的诸多要求。但任何事物都不可能尽善尽美，Bézier方法和B样条方法也不例外。虽然拥有诸多优点，但他们依然存在不足，依然存在改进空间。因此不少学者致力于研究这两种方法的改进，大量扩展方法应运而生。扩展方法一般都保留了Bézier方法、B样条方法的基本性质，同时还克服了这两种方法在形状调整能力以及形状表示范围方面的一个或者多个不足。但注意到大多数文献并未讨论其构造的拟Bézier曲线、逼近型拟B样条曲线是否具有变差缩减(VD)性。VD性是Bézier曲线、B样条曲线的重要性质之一，当扩展曲线不具备VD性时，可以说它并未真正继承传统造型方法的优点。与传统方法相比，这类扩展方法虽然具备一些新的性质，但他们是以丢失重要的VD性为代价来获取的，因此从保形性的角度来讲，这类方法并不太合适。由于具有VD性的曲线一定具备保凸性，而由具有全正性的调配函数定义的曲线一定具有VD性，因此可以说是否具有全正性是衡量一组调配函数是否适合于保形设计的标准之一。鉴于此，本课题从具有全正性的角度出发，来构造拟Bézier方法、拟B样条方法的调配函数，使得新的扩展方法对于保形几何设计而言是“合适”的。首先，课题组归纳出了存在开花的函数空间的共同特点；然后，在代数多项式空间、三角函数空间上给出了一些具体的适合于保形设计的子空间；进而，构造了这些空间上的拟Bernstein基，并定义了相应的拟Bézier曲线曲面，分析了他们的性质；构造了这些空间上的非均匀拟B样条基，分析了其与相同函数空间上拟Bernstein基之间的关系，定义了相应的非均匀拟B样条曲线，并分析了其性质；当基函数定义于三角函数空间时，分析了均匀拟B样条曲线表示部分圆锥截线的条件；定义了相应的张量积非均匀拟B样条曲面，分析了曲面的基本性质；分析了曲面形状随形状参数改变的变化趋势；分析了曲面在常见解析曲面表示中的应用；给出了图例直观验证了分析结果的正确性。