完全交和加权完全交的几何拓扑

代数几何中一个经典问题是复射影空间中完全交的分类. 完全交的微分同胚型由定义它的多项式次数决定, 而与多项式的选取无关. 完全交的示性类也只与齐次多项式的次数有关. 著名数学家Sullivan猜想完全交的微分同胚型由它的全次数、Pontrjagin数、 Euler数决定. 即使拓扑意义上的Sullivan猜想也没有解决. 是否可以用示性类去决定完全交的几何拓扑是十分有趣但又很困难的问题. 在复维数小于等于7, 拓扑Sullivan猜想成立. 若对完全交的全次数所含有的素数因子做些限制, Sullivan猜想对于某些完全交也是成立的. 拟开展下述问题的研究: 1, 低维(复维数小于等于7)Sullivan猜想的研究；2, 改进全次数限制条件的(拓扑)Sullivan猜想的研究；3, 作为完全交的推广, 对加权完全交的拓扑的研究；4, 利用弦拓扑理论对完全交loop同调代数的研究.

1.针对加权完全交的几何拓扑，利用Kreck的Modified surgery 理论，得到一类特殊类型的加权完全交的微分同胚分类结果。 即：对在同一个加权超曲面中定义的两个奇数维光滑加权完全交，令全次数d的素数分解中素数p的幂满足一定条件，如果权为奇且两两相对互素，则此加权完全交微分同胚，当且仅当二者具有相同的全次数d、Pontrjagin类和Euler特征。此结果整理成论文Diffeomorphism classification of weighted complete intersections, 发表在Acta Mathematica Sinica, 28(2012), 299-312..2.关于完全交的几何拓扑方面，已找到若干微分同胚完全交的例子。这些例子实际验证了关于完全交分类的理论结果。而且从这些微分同胚的完全交中，我们得到了一些关于完全交几何拓扑的有趣的性质。其中一个性质对方复全教授在论文：Topology of complete intersections, Comment. Math. Helv. 72 (1997), 466--480中提出的问题给予了部分否定的回答。 特别的，在这些微分同胚的复5维完全交例子中，我们找到一组余维数为7的特殊例子。利用此例子，将P.Bruckmann教授关于存在任意多个同胚（微分同胚）复2，3，4维复完全交，但其模空间维数不同的结果推广到了复5维，即证明了对于任意正整数t，存在t个多重次数不同但彼此微分同胚的完全交，这些完全交所对应的模空间维数都不同。此结果已提交到预印本网站：http://arxiv.org/abs/1311.4663，并且已经投稿。.3. 关于二阶Postnikov系统的稳定同伦群，假设其仅在第n个，n+i个同伦群非平凡，我证明了当0<i<n-1时，此二阶Postnikov系统具有广义Eilenberg-Mac lane空间的弱同伦型。根据此结果，我们算出了i=1时的二阶Postnikov系统的稳定同伦群。.4. 与王玉玉副教授合作，我们证明了在Adams谱序列的E_2项中存在一族非零元素，收敛到球面稳定同伦群中的非平凡元素。此结果已提交到SCI索引期刊“MATHEMATICA SCANDINAVICA”。