高振荡Volterra积分方程高效数值算法及其在高频散射中的应用

Volterra integral equations with highly oscillatory kernels arise frequently inelectromagnetics and acoustic scattering simulations . Costs of traditional numerical methods increase as the oscillation of functions increases. Therefore, it is a challenging problem to numerically solve Volterra integral equations with high efficiencies. This project studies efficient hybrid numerical algorithms for solving these equations, which share the property the higher the oscillation, the better the approximation: (1) Study the existence of solutions for equation with oscillatory kernels and oscillatory function on the right side, and the asymptotic behavior of the solution; (2) Study the hyper-singular integral in discrete schemes for solving integral equation;(3) Based on existing computation formulae of integrals with Cauchy singularities and hyper singularities, we construct efficient methods for solving highly oscillatory Volterra integral equations with Cauchy sigularities and hyper singularities. This group has made some innovative work on numerical calculation of highly oscillatory integrals and integral equations, whcih lays the base for this project. The completion of this project will enrich and improve existing research work, and.give algorithms and theoretical evidence for practical engineering computation.

高振荡Volterra积分方程广泛应用于电磁、声波散射中。随着函数振荡性加剧，用传统的数值方法进行逼近时成本会随之增加，因此对其进行高效数值计算是一个有挑战性的重要课题。本项目主要研究此类方程的振荡性越强精度越高的的高效数值算法：(1)研究带振荡核与右端为振荡函数的解的存在性，以及解的渐近性;(2)研究积分方程解法的离散格式中的奇异高振荡积分; (3)基于已有Cauchy奇异与超奇异的积分计算公式，采用配置法和混合数值方法构造带高振荡核的Cauchy奇异与超奇异Volterra积分方程的高效算法。近年来本课题组在高振荡积分与高振荡积分方程的数值计算方面做出了一些创新性的研究工作，为本项目的开展和顺利完成打下了坚实的基础。项目的完成将会丰富和完善已有的研究工作，并为实际工程计算提供算法和理论依据。

高振荡积分与高振荡积分方程广泛出现在科学与工程计算中。由于其高振荡性，传统方法的网格剖分数与频率有正相关性而失效。本项目主要构造高效的数值算法，取得如下进展：.（1）针对带高振荡核的Cauchy奇异的Hilbert变换，我们先将其转换到[0,\infty），其中被积函数在此区间上不振荡且指数衰减。并且给出了关于频率的渐近展开式。然后根据奇异点的位置给出了有效的数值算法：若奇异点为O(1)或大于等于1，则构造Gauss求积公式；若点大于0且小于1，将积分改写为3个积分的和，这3个积分可用Chebyshev近似，Gauss-Laguerre求积公式和Mejer G 函数计算。.（2）考虑带高振荡Bessel核的第一类、第二类Volterra积分方程，通过对方程两边同时求导，得到一个新方程，再将新方程与原方程联立成一个方程组，将未知函数用在起始点与所求点上的Hermite插值多项式替换，采用Filon型方法计算高振荡积分项，得到一个关于所求节上的函数值与导数值的配置方程组，可同时算出其节点上的函数值与导数值的近似值（direct Hermite collocation 法）。利用预解核的相关性质，及Bessel函数积分的相关结论，分析了其关于节点与频率的收敛阶，得出了频率越高、节点越多、误差越小的结论。我们再将积分区间细分，每个小区间上利用前面的方法，构造出精度更高的piecewise Hermite collocation法。.（3）对于带高振荡核的Bessel变换，通过多次分部积分，将其作渐近展开，然后在有限项处截断，得到一个近似公式。对于残差函数，利用Bessel函数与Whittaker W函数的关系，推导出近似公式关于频率的收敛阶。此外，我们在复平面内，选取适当的积分路径，将残差转化为复平面上的积分，利用Gauss-Laguerre求积公式，得出残差的近似公式，将此与前面的渐近展开式联立起来，得到一个的新的算法。.（4）考虑控制势域场的泊松方程，应用边界元法去离散边界积分方程，从而数值上求得边界上未知的变量。我们采用常数元法来离散二维势问题的边界积分方程，采用快速多级边界元法来代替传统的边界元方法可以大大地提高运算速度，而截断项数的多少直接影响快速多级算法的精度：若截断项为 p+1项, 则多极展开和局部展开的截断误差为O((2/\sqrt(3))^p)。