仿射技巧与Monge-Ampere型方程

The Monge-Ampere equations often appears in some problems of geometry, such as Minkowski's problem, affine hypersphere in affine geometry etc. With the perfection of the elliptic equations, degenerate and singular equations of Monge-Ampere related to geometry and physics have received wide attention and attracted many mathematicians. In present project, based of previous works, we will study the existence of the extremal Kahler metrics in toric manifolds and the analytic aspect of the construction of mirror dual in mirror symmetry. We will focus on the regularity of solutions of the relevant degenerate and singular equations.

Monge-Ampère方程常常出现在一些几何问题中，如经典的Minkowski问题，仿射几何中的仿射球等。随着椭圆方程理论的完善，与几何和物理有关的退化与奇异Monge-Ampère型方程引起了广泛的关注，吸引了一批优秀数学家的探索和钻研。 .本项目拟在前期工作的基础上开展以下两方面的研究:Toric流形上极值Kahler度量的存在性问题，镜像对称对构造中的分析问题，建立与之相关的理论。主要解决相关退化与奇异Monge-Ampère型方程解的正则性。

Monge-Ampère方程常常出现在一些几何问题中，如经典的Minkowski问题，仿射几何中的 仿射球等。随着椭圆方程理论的完善，与几何和物理有关的退化与奇异Monge-Ampère型方程引 起了广泛的关注，吸引了一批优秀数学家的探索和钻研。.本项目拟在前期工作的基础上开展以下两方面的研究:Toric流形上极值Kahler度量的存在 性问题，镜像对称对构造中的分析问题，建立与之相关的理论。.重要结果：(1)证明了滤子稳定性等价于一致K稳定性,并最终证明了环簇上的Yau-Tian-Doanldson猜想的最后一步。. 对度量完备的二次增长情形证明了Liouville定理, 给出了Szekelyhidi 问题的部分回答. (2)与人合作对粘合参数的导数作出一个指数衰减的估计, 将不变量定义为虚拟邻域的 top stratum上的瑕积分, 从而证明了Gromov-Witten不变量瑕积分的收敛性, 并验证了以这种方式定义的不变量满足Kontsevich和Manin的所有Gromov-Witten公理。