Hopf代数及其作用的同调性质的若干研究

This research project combines Hopf algebra, homological algebra, Gorenstein homological algebra and triangulated category. We will focus on the study of Gorenstein homological theory and finitistic dimension of crossed product. First, we will determine all the Gorenstein projective modules over crossed products, and from which we will study the Gorenstein homological dimensions, and describe the conditions such that the crossed products are of finite Cohen-Macaulay type. Second, via construction of some examples of the crossed products such that the finitistic dimension conjecture holds, we hope to prove this conjecture generally holds for any crossed products. Finally, we will study the stable category of the category of the Gorenstein projective modules over crossed products, and try to construct a recollement, thereby to obtain new stable t-structures.

本项目是Hopf代数与同调代数、Gorenstein同调代数及三角范畴相结合的交叉研究课题。主要致力于Hopf代数中交叉积的Gorenstein同调理论与有限维数猜想等研究。首先，我们希望确定交叉积的Gorenstein投射模，并由此研究其Gorenstein同调维数及CM-有限性；其次，我们拟通过构造有限维数有限的交叉积的例子，进而一般地证明交叉积的有限维数猜想成立；最后，我们将对交叉积的Gorenstein投射模范畴的稳定范畴进行研究，并试图构造其三角粘合，从而获得新的稳定t结构。

本项目是Hopf代数与同调代数、Gorenstein同调代数及三角范畴相结合的交叉研究课题。主要致力于Hopf代数中交叉积的Gorenstein同调理论与有限维数猜想等研究。首先，我们刻画了交叉积的Gorenstein投射模，并由此研究其Gorenstein同调维数及CM-有限性；其次，我们通过构造有限维数有限的交叉积的例子，给出了交叉积的有限维数猜想成立的一些充分必要条件；最后，我们对交叉积的Gorenstein平坦模，Gorenstein平坦维数及Gorenstein平坦(预)盖等进行了研究。.本项目同时研究了Hopf代数的推广形式上的若干问题。一方面我们研究了Hom-Yetter-Drinfeld模范畴及Bimonads的余模范畴的辫子张量结构，为杨-Baxter方程提供了更多的解，更为以后考虑同调性质打下了基础。另一方面对BiHom-型代数进行了研究，尤其是和罗巴算子结合起来，也和经典杨-Baxter方程建立了联系。