运用Grobner基研究多维矩阵的分解与多维最小实现问题

电路、信号处理、多维系统中的许多问题大多归结为n元多项式环上有限生成模问题，即n元多项式矩阵的分解问题，科学家们以前更多的是利用数字矩阵或低维多项式矩阵（n较小，n≤2）来研究一些实际问题。随着信息化进程的加快，需要更严密的数学推理与精密的科学计算。n元多项式矩阵的分解问题尤其重要（n较大，n≥3）。本课题主要研究n元多项式矩阵的分解及多维最小实现问题。我们将首次运用s×m矩阵（s≤m）的s-1 级子式来研究 n元多项式矩阵的分解，将给出多项式矩阵行列式分解、因子分解的几种条件，这些条件将比Lin-Bose猜想中的条件更弱，应用范围更广；这将是十多年来这一领域的一个重大突破。另外，我们也将对LFR不定模型与多项式矩阵的多维实现问题展开研究，寻找并给出多维实现的新方法。这将为多维系统、信号处理等问题的研究提供新的数学方法与理论依据，为增强我国在这一领域的研究具有十分重要的意义。

电路、信号处理、多维系统中的许多问题大多归结为n元多项式环上有限生成模问题，即n元多项式矩阵的分解问题与多项式矩阵的多维实现问题。我们主要开展了以下工作：研究了s x m阶n元多项式矩阵中s 级子式、s-1级子式、s-2级子式之间的关系与性质，并建立了在一定条件下他们之间公式化的关系。用s-1级子式、s-2级子式刻划矩阵MLP分解的条件，并给出了一些更好、更弱的充分条件，得到的结果涵盖了Lin-Bose猜想中的结果，并给出了经典问题—Lin-Bose猜想的一种新证明。 着重研究了s x m阶n元多项式矩阵关于某因子的分解与矩阵的s-1级子式、s-2级子式的内在关系，并给出了刻划的条件；研究了FLP矩阵，给出某些s x m 阶矩阵是真FLP矩阵的判别条件。 研究了多维系统中多项式环的理想的Gröbner 基的性质，重点研究了一种新的Gröbner 基算法（GVW）中约化的S-多项式以及合冲模首页的Gröbner基，并首次把GVW算法中的Gröbner基与传统的Gröbner基结合起来。研究并给出了主理想整环上Gröbner基的GVW算法。进一步研究多项式的性质，给出了运用Gröbner 基判别素理想、准素理想的准则。通过引进W-Gröbner 基，研究并给出了Gröbner 基的乘法准则。研究了两个变量的多维矩阵的行列式分解、因子素分解的问题，并运用Gröbner 基的新算法，给出了一种分解矩阵的新算法。探讨了环上矩阵的幂零性质， 证明了一类特殊矩阵环是nilpotent p.p-环当且仅当基环R是nilpotent p.p-环；探讨了矩阵环的 Armendariz 条件，证明了几类特殊矩阵环（如上下三角形矩阵环等）满足M-π-Armendariz 条件当且仅当基环R满足M-π-Armendariz 条件；刻画了二阶上三角形矩阵环的相伴素理想与弱相伴素理想及n阶上下三角形矩阵环的弱相伴素理想。探讨了环的弱对称性质,弱Zip性质, 弱相伴素理想等一系列幂零性质在环的一系列多项式扩张与广义幂级数扩张中的保持问题。设a: R→ R是环R的自同态，d为自同态a的导子.我们证明了: 如果R是（a，s）相容的可逆环，则：斜多项式环R[x; a, s]的幂零元素组成的理想和弱相伴素理想完全可以分别用基环R的幂零元素组成的理想和弱相伴素理想来刻画。