高维定常可压Euler流的若干问题

Many mathematical models with important physical and mechanical backgrounds are reduced Euler equations or some partial differential equations relating closely to Euler equations, such as Navier-Stokes equations, Boltzman equations etc. There are strong nonlinearities, degeneracy and strong coupling in the system, which greatly make the rigorous mathematical theory study of the problems with respect to Euler equations very difficulty and challengeable. This system has been attracting much attention and interests of many mathematicians for a long time. In this project, we will adopt classical theories and new methods, which were developed in the study of nonlinear degenerate elliptic equation and hyperbolic equation，corner singularity theory as well as the harmonic analysis, complex analysis and geometric analysis, to study the following three problems with important application prospects for steady compressible full Euler equations: ⑴ The existence, uniqueness and asymptotic behaviors of the global subsonic flow in half plane；⑵ The existence and uniqueness of the three-dimensional isentropic or non-isentropic global subsonic flows through infinitely long nozzles. ⑶ Stability of transonic shocks in three-dimensional irrational isentropic supersonic flow past a wedge. The achievement of this study will enrich and develop the theories and methods of partial differential equation, and provide theoretical guidance for some applications. This study has theoretical significance and application value.

许多具有重要物理与力学背景的数学模型都会导出Euler方程组或与Euler方程组有密切联系的偏微分方程组，如：Navier-Stokes方程组、Boltzman方程组等。由于Euler方程组的强非线性、退化性和强耦合性，使得该方程组各类问题的数学理论研究极为困难、具挑战性，长期以来吸引了许多数学家的关注和兴趣。本课题拟从理论分析的角度出发，利用近年来逐步完善的非线性退化椭圆和双曲理论、角点奇异性理论及调和分析、复分析和几何分析中的新思想来研究定常可压缩全Euler方程组的如下几个有重要应用前景的问题：⑴半平面上亚音速流的全局存在性、唯一性及渐近性态；⑵三维等熵或非等熵无限管道亚音速流的全局存在性、唯一性； ⑶ 三维无旋等熵超音速流绕无限楔体产生的跨音速激波的稳定性。本课题的成果将进一步丰富和发展偏微分方程的理论与方法，还可为某些应用领域提供理论指导，具有重要的理论意义和应用价值。

许多具有重要物理背景的数学模型都会导出Euler方程组或与Euler方程组有密切联系的偏微分方程组，因而Euler方程组是最基本的、最重要的数学模型。对Euler方程组研究的重要性在于：一方面以Euler方程组为代表的非线性守恒率方程组在空气动力学、生物流体力学、微尺度流体力学、爆轰力学、气象学、天体物理学等方面有着重要而广泛的应用，另一方面由于Euler方程组的强非线性、退化性和强耦合性，使得该方程组的各类问题的研究极为困难、具挑战性，许多基本的重要理论问题都是未知的。因此研究Euler方程组的相关问题，将推动偏微分方程理论的发展。相较于一维Euler方程组的研究成果，对高维的Euler方程组的研究则明显要滞后许多, 至今没有关于高维的一般理论。在高维可压缩流的研究领域，目前虽然有相当多的实验和数值模拟，但严格的数学理论分析却很少。这是本项目的研究背景。我们借此课题，一方面以Euler方程组为数学模型，对具有柱对称的三维管道和机翼问题研究了可压缩理想定常流体椭圆流的存在唯一性问题。另一方面，研究了与Euler方程相关的模型，即向列型液晶模型的解存在性和时空衰减率问题。目前，本项目取得重要成果包括：1、证明了三维无限长分片光滑具有柱对称管道内可压缩定常旋度不为零的Euler流的存在性和唯一性。这是首篇关于三维具有非零涡度可压Euler管道椭圆流的成果，也是三维大涡度可压Euler流的首篇成果。首先，我们将三维直角坐标系下的Euler方程组转化成柱坐标系下的方程组。引入流函数，除了引入了贝努利函数和熵函数两个守恒量之外，我们还引入了一个新的守恒量。利用守恒量将Euler方程组的边值问题，转化为一个关于流函数的二阶非线性偏微分方程的相应边值问题，利用偏微分方程的理论研究该边值问题解的存在性以及唯一性。2、研究了具有具有柱对称的机翼问题，即证明了三维带旋度的可压缩Euler流对具柱对称障碍物体绕流的存在唯一性。3、研究了不可压向列型液晶流的简化模型的正则解对空间时间的衰减性，得到了与热传导方程一致的时空衰减率。4、在大于或等于2的N维全空间上研究了不可压向列型液晶流在尺度不变空间里温和解的全局存在性，得到了解对时间趋于无穷时的渐近稳定性，证明了当初值较小时的齐次函数自相似解的存在性。