常微分方程约束的广义Nash均衡问题的数值方法

Many problems arising in economics, scientific computing and industrial control can be formulated as a generalized Nash equilibrium problem constrained by ordinary differential equations (ODE-GNEP). This project focuses on numerical solution of the ODE-GNEP, based on the differential variational inequality (DVI) reformulation. We investigate the symplectic structure of the coupled Hamilton systems involved in the DVI; construct discretization schemes for the DVI that preserve the symplectic structure; analyze the properties and the structure of the discretized variational inequalities (VIs), which are normally of large scale; prove the convergence properties of the solutions with different qualifications of the VIs. The DVI will be reformulated into an infinite-dimensional VI, and the Galerkin approximation techniques and exponential integration will be utilized to construct high-order numerical methods for the ODE-GNEP of interest. We will also study the properties and the structure of the ODE-GNEP/DVI arising in real world applications. The newly constructed methods will be realized and tested through applied problems, and software packages will be developed...Based on theoretical analysis, this project is devoted to the construction of high-order numerical methods applicable to important applied problems, which can efficiently and stably compute the ODE-GNEP from applied fields. The numerical solutions meet various practical requirements.

经济学、科学计算和工业控制等领域的许多问题都可以归结为具有常微分方程约束的广义Nash均衡问题（ODE-GNEP）。本项目着重研究ODE-GNEP的基于微分变分不等式（DVI）的数值方法。我们将探究耦合汉密顿系统的辛结构，构造DVI的保结构离散格式，分析离散格式给出的（大规模）变分不等式（VI）的性质结构，证明离散的VI不同品性的数值解的收敛性质。将DVI转化为无穷维VI，利用Galerkin逼近技术与指数积分方法构造计算ODE-GNEP的高阶数值方法。研究应用问题所产生的ODE-GNEP/DVI的性质结构。对所构造的数值方法进行编码实现，对于应用问题测试数值方法，并开发软件包。.本项目在理论分析的基础上立足于构造适用于重要应用问题的高阶数值方法，能够快速稳定地计算出ODE-GNEP的符合实际情况、满足实际需要的数值解。

本项目在常微分方程约束的广义Nash均衡问题的数值方法探究方面取得了一系列成果。我们将ODE-GNEP归结为拟微分变分不等式、微分变分不等式以及无穷维的变分不等式，这方面的的研究作为算法研究的准备，研究结果整合在算法研究中。我们构造出若干辛、对称的离散格式，给出了阶条件（有希望推广到若干汉密顿系统的耦合系统），构造了基于指数离散格式的分裂时步法，这个方法具有高阶收敛性、其计算代价与目前流行的算法（至多一阶收敛）相当。该方法的分裂格式适于并行计算，可以让我们灵活地组合ODE与变分不等式的数值算法，特别有利于对于工程应用问题的实际求解。我们将具有状态-控制混合约束的最优控制问题归结为无穷维变分不等式，研究了其解的品性，得到了一些有意义的性质。构造了Galerkin高阶逼近格式，证明了其收敛性。我们将正则化逼近技术应用于我们的Galerkin方法与时步法中，建立了正则化参数选择与数值解品性（最小范数解）的一些关系。