同伦论的历史研究

Homotopy theory plays a very important role in modern mathematics and science, which not only helps extend the research and application area of mathematics, but also directly promoted the process of biology, medical sciences, economics, chemistry, computer science and etc. Based on original documents and relevant research materials, this project plans to take "the ancient card recovery" as its guideline, which was advocated by Academician Wu Wenjun, to have a comprehensive sorting and deep exploration of the mathematical thoughts proposed by relevant mathematicians in the process of the origin, birth and development of homotopy theory, to restruct some important methods and theorems in homotopy theory. At the same time, this project took "Why mathematics" as its breakthrough point and main purpose, and combined with developmental status in the following branches of mathematics, such as complex analysis, abstract algebra, differential equation, wide range analysis and geometry as well as incorporated main trend of related topics of mathematics at that time, so as to explore, from a wide horizion, the source of thought, the original motive and interrelationships of relevant mathematicians when homotopy theory was firstly created, outline the historical root and inheritance relationship of related mathematical thought and method, clarify the theoretical significance and application value of thought and method of homotopy theory in modern mathematics and other discipline, and then reveals the clear sequence of thought and significant influence of historical evolution of homotopy theory.

同伦论的创立，在近代数学乃至近代科学的发展中占有非常重要的地位，不仅扩展了数学科学研究以及应用的范围，而且直接推动了生物学、医学、经济学、化学、计算机科学等领域中许多重要结果的取得。本项目拟在原始文献和相关研究文献的基础之上，以吴文俊院士倡导的“古证复原”原则为指导，全面整理和深入发掘同伦论起源、诞生、发展过程中相关数学家的数学思想，对其中的一些重要方法或法则进行合理重构，同时以“为什么数学”为切入点和主要目的，结合当时复分析、抽象代数、微分方程、大范围分析、几何学等数学分支的发展情况以及当时数学发展的主要趋势等相关主题，在更为广阔的视域中探寻这些数学家同伦论研究的思想源泉、原始动机及相互影响，廓清相关数学思想和方法产生的历史根源、传承关系，阐明同伦论思想方法在近代数学和其它科学发展中的理论意义和应用价值，进而揭示同伦论历史演变过程的清晰思想脉络和重要影响。

本项目以文献考证与案列研究相结合，典型问题与背景分析相统一的方案，对同伦论的历史演变过程进行了研究。首先，项目从基本群问题产生的背景、同伦思想的来源以及Poincaré在代数拓扑方面的早期工作这三个方面入手，并结合当时的数学状况、数学家的个人兴趣以及新的数学方法的演变等诸多方面的讨论，对同伦论的起源和创立进行了梳理。在发展时期，主要对以下几个方面进行了研究：Brouwer给出同伦概念确切定义的背景；Hopf映射的发现；Hurewicz处理连续映射的方法；Freudenthal为计算同伦群所提供的新途径；决定空间同伦型的问题归结为计算同伦群的新思路；阻碍理论的建立过程，并对数学家的相关工作进行了横向比较研究。通过这些研究，回答了同伦论诞生的原因，以及其对数学和其它科学的发展产生了怎样的影响。此外，在项目实施的过程中，在对同伦论的创立和发展过程的研究追寻“为什么”答案的同时，将此方法应用于其它数学史的研究中，探讨相关问题，为数学史的研究进一步提供了一条不同的思路。