偏微分方程离散格式的控制问题

本项目主要研究线性偏微分方程时间离散和全离散差分格式的控制和其一致收敛问题。由于时间离散后偏微分方程化为一组椭圆差分方程，导致了方程性质的改变，而且由于偏微分方程的能控性的不适定，使得此类系统的控制问题面临离散格式的适当选取、控制器的特殊性以及控制的收敛性等多重困难。首先我们借助对偶方法把控制收敛问题转化为其对偶系统的一致能观不等式。 进一步，期望得到谱频估计与一致能观不等式的等价性。由此，通过对离散格式的谱频估计的验证，得到与之对应的离散控制问题的控制收敛性，从而解决离散格式控制收敛的相关问题。

本项目主要研究了具体的方程的各种性质，如四阶薛定谔方程的能观性、能控性、反问题等。利用乘子方法，我们先考察了线性四阶薛定谔方程的能观不等式，然后得到了对应控制方程的边界能控性。进一步的，我们研究了半线性薛定谔方程的反问题。因利用Carleman乘子的方法过于复杂而无法处理高维情况边界的混合项，我们首先得到了一维有界域上Lipschitz稳定性的反问题的正面结果。此结论已投稿待审核。另外，我们还研究了拟线性双曲方程（浅水波方程）的精确非行波解的性态，并考虑了初值为控制的Stokes-Darcy方程的最优控制收敛问题。