算子的不可约性与G-M型空间上算子结构

This project researches the operator structure on the G-M type spaces by using the special structure of G-M type spaces and K-theory of operator algebras, with a variety of operators of irreducibility as tools. It explores the inherent laws of the mutual influence, interaction and the mutual restriction between the research of the structure of Banach spaces and the research of operator structure. It focuses on the following problems: (1) the properties of the classes of operators with irreducibility; (2) the small and compact perturbation problems of the classes of operators with irreducibility; (3) the distribution of the classes of operators which can be decomposed into the direct sums of finitely operators with irreducibility; (4) the similar invariants of the classes of operators with irreducibility; (5) the direct integrals of the class of strongly irreducible operators; (6) the research of the G-M type space structure and the K-theory of operator algebras. One of the main features of this project is that it expands to a series of operators with irreducibility with the class of strongly irreducible operators as the center and it uses these classes of operators as tools to study the space structure and the operator structure.

在G-M型空间上，利用其特殊的空间结构，借助以强不可约算子类为中心的具有不可约性算子类作为工具，应用算子代数K理论的语言研究算子结构，探索空间结构和算子结构二者相互影响、相互作用、相互制约的内在规律。聚焦于如下前沿问题：(1) 具有不可约性算子类的性质。(2) 具有不可约性算子类的小紧摄动问题。(3) 具有不可约性算子的直和类在全体算子集中的分布。(4) 具有不可约性算子类的相似不变量。(5)强不可约算子的直接积分。(6) G-M型空间结构的深入研究和算子代数K理论。本项目的主要特色之一是拓广为以强不可约算子类为中心的一系列具有不可约性的算子类，并以其为工具研究空间结构和算子结构。

本项目在G-M 型空间上，利用其特殊的空间结构，借助以强不可约算子类为中心的具有不可约性算子类作为工具，应用算子代数K 理论的语言研究算子结构，探索空间结构和算子结构二者相互影响、相互作用、相互制约的内在规律。项目成果包括：一、学术研究；二、学术交流。本项目组成员在2013年-2015年共发表学术论文18篇(其中标注有“国家自然科学基金资助(11201071)”的有10篇)，被录用学术论文4篇，另外还已投稿2篇学术论文(均标注有“国家自然科学基金资助(11201071)”)。本项目应用K理论在遗传不可分解空间上给出了强不可约算子的完全相似分类，证明了可分遗传不可分解空间上谱连通算子是强不可约算子的小紧摄动；在Σdc空间上除了给出了强不可约算子的完全相似分类，也给出了可以写成有限个强不可约算子直和的算子类中算子的相似不变量；在可分空间上证明了具有单点谱的算子是有限维不可约算子的小紧摄动，进而建立了有Schauder基的Banach空间上算子的近似Jordan标准形；在框架理论的研究中得到了三个方面的进展，分别为Hilbert空间上框架算子在可逆算子摄动下不变问题、给出Banach空间上σ-框架算子的定义并研究其性质、以及研究Banach空间上p框架与q-Riesz基的weaving性；在算子谱理论的研究中则取得了大量重要成果，包括算子RS与SR的共同性质的研究、算子的Fredholm理论的研究、相关Banach空间理论的研究、以及其它一些谱理论问题的研究。本项目资助负责人参加了4个国际国内学术会议、博士后研究和出国访学，还资助研究生3人次参加了国际学术会议。本项目的主要科学意义体现在：展现了学科分支的交叉与渗透的瑰丽景观；为本项目的后续研究提供理论基础；为与本项目相关的课题提供思想方法。