电磁场涡流问题中结构化线性方程组的预处理方法

Large-scale structured systems of linear equations arise from many fields in scientific and engineering computing. For example, Navier-Stokes equation in fluid mechanics, time-harmonic eddy current model in electromagnetics, optimal control problems governed by partial differential equations and so on, can be transformed into solving the structured systems of linear equations after numerical discretizations. The coefficient matrices of these structured systems of linear equations are usually large sparse, and have certain structures. Therefore, it has a broad application background and significant theoretical value to study on preconditioned methods for these structured systems of linear equations. In order to slove the structured systems of linear equations arising from eddy current problems in electromagnetics, we consider to construct effective preconditioners for the coefficient matrices according to its special structures, explore preconditioning technique combined with splitting iteration methods and Krylov subspace methods, and design effective numerical algorithms further in this project. Firstly, we will analyze its symmetry, positive definite, and characteristic information theoretically based on the block structures of the coefficient matrices. Then, we will propose efficient preconditioners by making use of the special structures and properties of these coefficient matrices, design corresponding algorithms and implement the algorothms by program. In addition, we expect to analyze the bounds of the eigenvalues of the preconditioned matrices and convergence of the algorithms.

大规模结构化线性方程组的求解来源于科学与工程计算的众多领域。例如：流体力学中Navier-Stokes方程，电磁学中的时谐涡流模型和偏微分方程最优控制问题等等，经过数值离散后都转化为结构化线性方程组的求解。由此类问题离散所得到的矩阵通常是大型稀疏的，且具有一定的结构，因此对结构化线性方程组预处理迭代法的研究有着广泛的应用背景和重要的理论意义。本课题将对来源于电磁场涡流问题中的结构化线性方程组，利用其系数矩阵的特殊结构构造有效的预处理子，并结合分裂迭代法或Krylov子空间方法探索相应的预处理技术，从而为这些结构化线性方程组设计高效的数值算法。首先，基于这些系数矩阵的分块结构，我们对其对称性、正定性以及特征信息进行理论分析；然后利用这些矩阵的特殊结构和具体性质来构造有效的预处理子，设计相应的算法，并通过程序对算法进行实现。此外，期望从理论上分析预处理后矩阵的特征值范围以及算法的收敛性。

本项目研究了结构化线性方程组的预处理迭代方法及其在电磁场涡流问题中的应用。由于电磁场中时谐涡流模型经过有限元离散后可以得到一个鞍点型的线性方程组，因此我们重点研究了广义鞍点问题的预处理迭代法，并取得了以下两个方面的主要成果。一方面，对于复对称不定的线性方程组转化所得到的分块2x2结构的线性方程组，我们分别提出了预处理修正的HSS迭代法及其两个变形和不精确旋转的块三角预处理子，这些迭代法和预处理子可以高效求解复对称不定的线性方程组。另一方面，对于一般的广义鞍点问题，我们分别提出了简化的HSS预处理子，交替半正定分裂预处理子和广义位移分裂预处理子，并分析了这些预处理矩阵的特征值的性质。特别地，我们给出了简化HSS预处理鞍点矩阵的特征值和特征向量的分布；证明了交替半正定分裂迭代法应用于电磁场涡流问题离散所得到的鞍点问题上是无条件收敛的，并给出了一个实用的参数估计值；详细分析了广义位移分裂预处理鞍点矩阵的实特征值以及复特征值的范围。数值算例验证了以上这些预处理子在求解广义鞍点问题时优于已有的方法，并解决了一些理论问题和实际应用问题，因此具有重要的理论价值和现实意义。