高余维双同宿环分支

分支是一类常见而重要的非线性现象，且与其它非线性现象如混沌、突变、分形、拟序结构等密切相关。作为重要的分支现象，同宿、异宿环分支在空气动力学方程的激波解、反应扩散方程的行波解、磁性流体的激波的粘性界面的存在性等问题中有着广泛的应用，它们的存在和分支是非线性系统复杂性与结构不稳定性的重要源头。近年来，高维系统的高余维分支问题逐渐成为同宿、异宿环分支研究中的热点问题。本项目拟通过活动坐标架法及对中心稳定流形和中心不稳定流形切丛的分析，获得一个光滑的坐标变换，由此得到异常简洁的规范型和相应的庞加莱映射，进一步导出分支方程，从而对高维系统中退化情况（共振、轨道翻转、倾斜翻转）及上述几种情况交叉发生的多重退化情况下的具有较高余维数的同宿、异宿环特别是双同宿环分支问题开展深入的研究工作。

本项目主要研究高余维双同宿环分支及相关的一些分支在实际问题中的应用。本项目按照申请书的原计划执行, 并且取得了预期的研究成果。近年来，对于高维系统中高余维分支问题的研究是同宿、异宿环分支研究中的热点问题。双同宿环作为同宿环中较为复杂的一种环， 人们对它的研究较少。本项目主要对高维系统中退化情况（共振、轨道翻转、倾斜翻转）及上述几种情况交叉发生的多重退化情况下的具有较高余维数的同宿、异宿环特别是双同宿环分支问题开展了研究工作。我们得到的主要结果有：先在高维向量场中的双同宿环,异宿环或异维环附近建立局部坐标系，并构造 Poincare 映射，导出分支方程，进而研究了高维系统中带有共振特征根的余维 3 扭曲双同宿环分支和带有倾斜翻转的余维3双同宿环分支及非通有的异宿环分支和2-2-1异维环分支。同时给出了不同问题下鞍结点分支曲面的存在性或不存在性的条件，最后详尽而完整的给出了它们的分支图。另外，对于一类3维反转系统中的异维环分支，我们也得出了它的分支结果。利用本项目的一些结果和方法，进一步研究了一些分支的理论和方法在实际问题中的应用。 此外还研究了某种非线性微分方程的震荡区间准则和一些带参数的时滞微分系统的正解问题，以及Banach 空间的非线性扰动流等问题，并得到了一些相应的结果。