基于不等式理论的图与超图谱问题及其应用研究

Graph and hypergraph spectral problem is an active and important research field in graph and hypergraph theory. And it has extensive applications in the fields of computer science, communication networks,information science, statistical mechanics and quantum chemistry, etc. In the graph and hypergraph spectral problem, there are various tensors and matrices that are naturally associated with a hypergraph and graph, such as the adjacency tensor and matrix, Laplacian tensor and matrix, signless Laplacian tensor and matrix, and so on. . In this project, via inequality theory, we further study the relevant properties and applications on the Z-eigenvalues, Z-eigenvectors, H-eigenvalues and H-eigenvectors of the adjacency tensor, Laplacian tensor and signless Laplacian tensor for a hypergraph. Especially, the largest and the smallest Z-eigenvalues, H-eigenvalues with their eigenvectors of the above three tensors for a uniform hypergraph are researched, and their connections with multi-partition, orientation, planarity, cospectrum and chromatic number of a uniform hypergraph are discussed. On the other hand, we further study the theoretical properties and practical applications on the graphs' adjacency eigenvalues, Laplacian eigenvalues and signless Laplacian eigenvalues. And the relationships between the largest\smallest eigenvalues with their eigenvectors and the Hamiltonicity of general graphs\bipartite graphs are presented. In addition, we generalize the spectral distance of two graphs to the Laplacian spectra distance and the signless Laplacian spectra distance of two graphs, and give some definitions, notations and initial results in order to solve some relevant conjectures and problems.

图与超图谱问题是图与图超理论的一个非常活跃而又重要的研究领域。而且它们在计算机科学、通信网络、信息科学、统计力学以及量子化学中均有广泛的应用前景。本项目中，我们将基于不等式理论进一步研究超图的邻接张量、拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量对应的Z特征值、H特征值及它俩特征向量的相关性质和应用问题。特别地，研究一致超图这三种张量的最大与最小Z特征值、H特征值及它俩对应的特征向量，并讨论这些特征值及其特征向量与一致超图的多部划分、有向性、平面性、共谱性、着色数等相关图论参数的应用性关系。另一方面，进一步研究图的邻接特征值、拉普拉斯特征值和无符号拉普拉斯特征值的理论性质和实际应用，并给出一般图或二部图相关最大最小特征值及其特征向量与对应图的哈密顿性的关系。由两个图的谱距离概念比较定义两个图的拉普拉斯谱距离和无符号拉普拉斯谱距离，并给出若干相关的定义、符号和初步结论，以便尝试解决若干相关的猜想和问题。

图与超图谱问题是图与图超理论的一个非常活跃而又重要的研究领域。而且它们在计算机科学、通信网络、信息科学、统计力学以及量子化学中均有广泛的应用前景。本项目中，我们基于不等式理论进一步研究了超图的邻接张量、拉普拉斯张量和无符号拉普拉斯张量对应的H特征值及特征向量的相关性质和应用问题。特别地，研究了完全4一致超图邻接张量的特征值问题。研究了一致超图二部划分的结构属性，并讨论了哪些超图既是奇二部超图又是偶二部超图。研究了一致超图这三种张量的最大与最小H特征值及它俩对应的特征向量，并讨论这些特征值及其特征向量与一致超图正则性的等价性质。研究了所借助到的不等式相关理论成果。另一方面，进一步研究了一般图谱的相关理论性质和实际应用，由两个图的谱距离概念比较定义两个图的无符号拉普拉斯谱距离，并给出若干相关的定义、符号和初步结论，以便尝试解决若干相关的猜想和问题。同时，也研究了有向双环网络的容错平均直径和容错直径，研究了平面图的transition多项式的Maple计算，研究了某些四元数矩阵方程通解或埃米特解中的复矩阵分量极秩等相关问题。