复杂流体相场模型的保结构算法设计与数值分析

Based on the structure-preserving algorithm, this project aims to develop systematically two classes of numerical methods for hydrodynamic phase field models, which are derived using the energetic variational approach and the generalized Onsager principle that warrants not only the variational structure but also the energy dissipation law. On the one hand, we apply a linear approach to first discretize the governing equations in space to arrive at a semi-discrete, time-dependent ordinary differential and algebraic equation (DAE) system in which a corresponding discrete energy dissipation law is preserved. Then, we discretize the DAE system in time to obtain a fully discrete system using a structure-preserving finite difference method, which satisfies a fully discrete energy dissipation law. On the other hand, we combine the invariant energy quadratization (IEQ) method or the scalar auxiliary variable (SAV) approach with the structure-preserving spatial discretization to develop a class of fully discrete energy stable schemes, where the discrete energy dissipation law is conserved. Finally, the new methods are illustrated by hydrodynamic phase field models of binary viscous fluids, hydrodynamic models of liquid crystals and two-phase magnetic hydrodynamic model. Numerical experiments are presented to demonstrate the efficiency and accuracy of the proposed numerical methods.

复杂流体相场模型是由能量变分方法和广义Onsager原理导出，自然具有变分结构和能量耗散结构。本项目基于保结构算法的思想，系统地发展适用于复杂流体相场模型的保持能量耗散结构的数值算法。一方面，我们采用线方法的思想，先对目标方程进行保结构空间离散得到拥有能量耗散结构的微分代数方程系统；再对空间半离散系统进行保结构时间离散得到保持能量耗散结构的全离散格式。另一方面，我们将不变能量二次化方法或标量辅助变量方法与保结构空间离散方法相结合，发展一类线性的保持能量耗散结构的全离散能量稳定算法。最后，我们将发展的新算法应用于各种两相流相场模型、液晶复杂流体模型以及磁流体相场模型，并进行数值分析和数值模拟。

复杂流体相场模型遵循热力学一致连续性，可以利用能量变分方法和广义昂萨格原理进行推导，自然拥有丰富的变分结构和能量耗散结构。梯度流模型是复杂流体问题中一类非常基础的模型，刻画了相变量的传输过程。本研究基于保结构算法的思想，系统地发展了一系列适用于梯度流模型的高精度能量稳定算法。首先，本研究利用预估矫正技术对已有的能量二次化方法进行改进，提出预估矫正型能量稳定算法，提升了长时间模拟的准确性和有效性。其次，基于重建的能量二次化模型，利用保持二次不变量的保结构算法理论，为梯度流系统开发了一类任意高阶能量稳定算法。在理论上，严格证明了新的高阶能量稳定格式保持重建模型的二次能量耗散律，从而得到新方法自然是无条件能量稳定的。此外，注意到重建模型的结构算子部分可“自由”离散，以及能量变分部分是线性的，本研究还发展了一类线性高阶保结构算法理论，为梯度流模型提出了线性高阶的能量稳定算法。理论上严格证明了新的线性高阶能量稳定算法无条件地保持二次能量耗散结构，并且是唯一可解的。最后，本研究对各种梯度流模型进行了大量的数值模拟，验证了理论结果的正确性和算法的有效性。值得注意的是，本研究提出的数值策略相当一般，可以进一步地推广到一般的复杂流体相场模型，为复杂流体相场领域的保结构算法理论的发展和应用打下了坚实的基础。