2-CY-倾斜代数CM-有限性和奇点消解相关问题研究

This proposal is about the intersection of representation theory of algebras and algebraic geometry. It concerns 2-CY-tilted algebras, finite-dimensional Jacobian algebras, CM-finiteness, Cohen-Macaulay Auslander algebras, quiver Grassmannians and their desingularization. More precisely,.(1).The relation between the mutation of the finite-dimensional Jacobian algebras and that of the 2-CY-tilted algebras, describe the condition for the mutation of the 2-CY-tilted algebras to preserve CM-finiteness, the CM-finiteness of the tame 2-CY-tilted algebras..(2).Describe the properties of the Cohen-Macaulay Auslander algebras of the skewed-gentle 2-CY-tilted algebras, such as derived equivalence classification, representation type and the existence of Hall polynomials. Use the stable categories of some selfinjective Nakayama algebras to describe the stable categories of the Cohen-Macaulay modules over the cluster-tilted algebras of the canonical algebras..(3).Realize the desingularization of the quiver Grassmannians of the skewed-gentle 2-CY-tilted algebras and the CM-finite algebras.

本项目是代数表示论和代数几何的交叉课题。我们拟研究2-CY-倾斜代数，有限维Jacobian代数，CM-有限代数，Cohen-Macaulay Auslander代数（CMA-代数），quiver Grassmannian的奇点消解等方面的问题。具体为：.(1）有限维Jacobian代数变换与2-CY-倾斜代数变换之间的关系，2-CY-倾斜代数变换保持CM-有限性的条件，tame型2-CY-倾斜代数的CM-有限性。.(2）刻画skewed-gentle 2-CY-倾斜代数的CMA-代数在导出等价、表示类型、Hall多项式等方面的性质。利用自入射代数的稳定范畴研究加权射影线丛倾斜代数的奇异范畴以及CM-有限性。.(3）实现skewed-gentle 2-CY-倾斜代数以及CM-有限型代数Cohen-Macaulay模quiver Grassmannian的奇点消解。

本项目是代数表示论，代数几何，数学物理的交叉课题，主要研究奇点范畴，箭图代数簇，i-量子群等诸多方面的问题。得到以下结果：刻画了gentle代数的Cohen-Macaulay Auslander代数（CMA-代数），证明了gentle代数的CMA-代数还是gentle代数；描述了反交换代数簇以及更广泛的q-交换代数簇（及其GIT商）的不可约分支和维数；利用导出范畴及其三角轨道范畴刻画了代数在局部环上表示的奇点范畴；证明了（分次）奇点范畴silting对象和倾斜对象的存在性，描述了monomial代数的奇点范畴；研究了i-量子群（量子对称对余理想子代数）的Serre表现，i-量子群的Serre关系和高阶Serre关系以及辫子群作用等。.倾斜对象的存在性为人们刻画奇点范畴提供了一种有效工具，并被用来刻画代数在局部环上表示的奇点范畴。i-量子群是量子群的推广，可以看成实李代数的量子化。i-量子群的Serre表现，（高阶）Serre关系以及辫子群作用更清晰地刻画了i-量子群的结构，也为人们利用Hall代数实现i-量子群以及利用BGP反射实现辫子群建立了基础。此外，交换代数簇和q-交换代数簇是一类结构清楚的代数簇，进一步说明代数几何是刻画代数表示的有效工具。