顶点算子代数的诱导模理论及其扩张

This is a proposal on the representation theory of vertex operator algebras. The proposal consists of the following three major parts: (1) Study induced modules of vertex operator algebras and develop a systematic theory of induced modules； Find the applications of this theory in the representation theory of vertex operator algebras and in particular, we will prove the conjecture posed in [DVVV]; (2) Study extensions of a vertex operator subalgebra of V which is fixed by some finite automorphism group G and prove V is g-raitonal for any g if such a subalgebra is rational, where g ranges over all elements of G; (3) Give equivalent characterizations of rationality of vertex operator algebras. The proposal is concerned about the key problems in the representation theory of vertex operator algebras. Solving these problems successfully will be vital for the representation theory of vertex operator algebras and the theory of rational vertex operator algebras.

本课题研究顶点算子代数的表示理论， 主要内容有以下三个方面:（1）研究顶点算子代数中的诱导模， 拟建立一套较为完善的诱导模理论；寻求该理论在顶点算子代数表示理论中的应用，特别地， 我们将证明[DVVV]中的猜想；（2）研究顶点算子代数V在其有限自同构群G下的不动点子代数的扩张， 证明若不动点子代数是有理的, 则V是g-有理的， 其中g跑遍给定有限群G中的所有元素；（3）拟给出有理顶点算子的等价刻画。以上涉及的均是顶点算子代数表示理论的核心问题， 这些问题的成功解决对顶点算子代数的表示理论及有理顶点算子代数的理论至关重要。

本项目中我们用诱导模构造出了Virasoro代数所有的不可约限制模， 从而对Virasoro顶点算子代数的不可约弱模进行了分类。 为更好地理解顶点算子(超)代数的各种有理性之间的关系， 我们研究顶点算子超代数的自然二阶同构对应的三种有理性， 并证明了它们是相互等价的。 此外， 我们还对与Virasoro代数有关的一些李代数、李共形代数的结构及表示理论做了研究， 并取得了一些有意义的成果。