Ricci流中的椭圆与抛物估计及其在奇点分析中的应用

The Ricci flow, introduced by R. Hamilton in 1982, has been proven to be a very important method of studying the geometric and topological properties of manifolds. Since in most of the cases, the Ricci flow will develop singularity, singularity analysis becomes critical to the process of performing surgery to continue the flow and eventually describing the topology of manifolds. In the Ricci flow, a common method of analyzing singularities is to study the blow up limits of singular solutions. In this project, we will study problems related to the geometric properties of the singular solutions before blow-up, compactness theorems which determine limits of blow-up solutions, and classification of singularity models obtained as blow-up limits. With the help of elliptic and parabolic estimates under the Ricci flow, we expect to solve or partially solve such problems as the behavior of the scalar curvature before singularity happens, whether certain blow-up limit of compact Kahler-Ricci flow with positive first Chern class is shrinking Kahler-Ricci soliton, whether certain blow-up limit of noncompact type I singular solution of the Ricci flow is shrinking Ricci soliton, and the classification of compact linearly stable shrining Ricci solitons.

Ricci流，由R. Hamilton于1982年引进，经过30余年的发展，已成为研究流形的几何和拓扑性质的极为重要的工具。由于Ricci流在绝大部分情况下都会产生奇点，所以奇点分析对如何在Ricci流下做手术进而延续Ricci流并最终刻划流形的拓扑有着关键的意义。在Ricci流中，进行奇点分析的常用手段是将奇性解爆破并研究爆破解序列的极限。本课题将围绕与Ricci流的解在爆破之前的几何性质，影响爆破序列极限的紧性定理，以及爆破收敛后的奇点模型的分类有关的一些问题进行研究。希望能借助Ricci流下的椭圆和抛物估计来解决或部分解决Ricci流在奇性发生前的数量曲率的变化，第一陈类为正的紧Kahler-Ricci流的爆破极限是否为收缩Kahler-Ricci孤立子，非紧Ricci流的第一类奇性解的爆破极限是否是收缩Ricci孤立子，以及紧的线性稳定的收缩Ricci孤立子的分类等问题。

Ricci流是研究微分流形几何和拓扑性质的非常有效的工具。绝大多数情况下，Ricci流都会在有限时间内产生奇点，所以奇点的研究对Ricci流至关重要。本课题主要研究 Ricci流奇性解的数量曲率对解的收敛性的影响，黎曼流形序列的弱极限的正则性及其研究在Ricci流和Käler-Ricci流的奇点爆破分析中的应用，以及Ricci流的熵泛函下线性稳定的紧收缩Ricci孤立子的分类等问题。期望将椭圆和抛物估计应用于研究这些问题，并进而加深对Ricci流的奇点的了解。..我们的主要进展是：证明了在Ricci曲率L^p积分有界或Kato范数有界情况下黎曼流形的热方程解的Li-Yau微分不等式，在仅假设数量曲率一致有界的情形下证明了沿Ricci流的热方程解的Li-Yau不等式，在假设Bakry-Émery Ricci曲率有界时推广了Cheeger-Colding关于流形Gromov-Hausdorff极限的正则性理论，将Anderson的C^(1,α)调和半径下界估计减弱为C^α调和半径下界估计，推广了Cheeger-Naber的余维4定理。这些结果是黎曼几何中许多经典结果的非平凡推广，同时我们也得到了关于这些结果的一些应用，在我们的研究目标上迈出了第一步。但是，要解决目标问题还需要对这些估计和结果进行改进和进一步的推广，甚至引入新的方法。