耗散型发展方程的渐近性态研究

In this projection, we will study the asymptotic behaviors of global solutions for dissipative evolution equations corresponding to dymiacal systems, including the asypmtotic property of solutions with the different external forces, the effect of the energetic (storngly or weakly) dissipation and the different initial-boundary valued conditions on the asymptoitc behaviors of solutions. In application, we will explore all kinds of dissipative evolution equations, in particular those with critacal or supercritical nonlinearity (such as p-Laplacian equation, reaction-diffusion equation, dissipative suspension bridge equation, etc). We will concentrate on the asymptotic behaviors of solutions, and hope to consider the existence of attractors, estimates of their dimsension (the existence of exponential attractors) and the upper semicontinuity of attractors, to discuss the effect of the different regular spaces, nonregular initial data and frocing term, fading memory and energetic dissipation on the asymptotic behavior. These are key and active problems in the field of infinite dimensional dynamical systems, and they are helpful to understand about geometric topological structure and analytical property of attractors.

本项目主要研究耗散型发展方程对应的动力系统整体解的渐近性态，包括在不同外力项条件下解的渐近性性质，能量耗散的强弱对于解的渐近性的影响，以及不同的初-边值条件对于解的渐近性的影响。在具体应用方面，将重点考察各种具体的耗散型发展方程，尤其是临界指数和超临界指数问题（包括p-Laplacian方程、反应扩散方程、耗散型吊桥方程等）。我们将以动力系统解的渐近性态作为研究中心，重点考虑吸引子的存在性及其维数估计（指数吸引子的存在性）和上半连续性问题，探讨不同的正则空间、非正则初值数据、非正则外力项、衰退记忆和能量耗散对于渐近性态的影响。这些问题是无穷维动力系统理论研究的主要问题和热点问题，有助于进一步深入研究吸引子的几何拓扑结构和分析性质。

耗散型发展型方程解的渐近性态研究不仅涉及数学学科，而且还涉及力学、大气科学、经济数学、生物数学等许多实际应用领域，具有丰富的物理背景和实际意义，同时也是目前的热点和难点问题。因而在本项目中我们主要研究了耗散型发展方程对应的动力系统整体解的非线性动力学行为，重点讨论了在不同影响因素作用下解在确定性动力系统和随机动力系统中的渐近性态。在应用方面，以各种具体的耗散型发展方程作为研究对象，着重点在于以上模型对应的临界指数和超临界指数问题。同时我们围绕解的渐近性态，论证不同正则外力项、衰退记忆、随机因素、动态边值条件、能量（波）传播的时间依赖速度对于解渐近性态的影响，获得了吸引子的存在性及正则性结果，并成功地刻画出吸引子的几何拓扑结构和分析性质，对无穷维动力系统理论应用研究起到了积极的推动作用。.本项目的研究工作主要包括：.(1)关于记忆型反应扩散方程，应用收缩函数理论和半群理论来研究非线性项满足（超）临界增长解的动力学行为。通过验证解在记忆空间的紧性和解半群（过程）的紧性，得到吸引子的存在性和正则性。.(2)对于带有白噪声的吊桥方程、浮梁方程和Plate方程，当系统受到随机因素(例如白噪声)的干扰时，应用随机动力系统理论完成了吊桥方程及相关问题在有界域上随机吸引子的存在性研究。.(3)关于带有动态边值条件的非自治p-Laplacian方程和随机反应扩散方程，当非线性项超临界增长，应用动力系统理论并结合我们早期的研究成果,分别证明了一致吸引子和随机拉回吸引子的存在性。另外，对于扩散型捕食系统，运用分歧理论、度理论及先验估计得到了正稳态解的存在性和多重性。.(4)对于记忆型二阶抽象发展方程，当非线性项满足临界增长，利用渐近先验估计获得了全局吸引子的存在性及正则性。特别地，在能量（波）传播的时间依赖速度的作用下，当非线性项满足次临界增长时，运用修正的拉回吸引子理论得到了时间依赖全局吸引子的存在性。