线性响应特征值问题的 Golub-Kahan-Lanczos 类算法研究及其应用

Linear response eigenvalue problems are widely used in quantum mechanics, nuclear physics and condensed matter physics. However, the numerical algorithms on these problems still need to be perfect. Based on our previous research, this project aims to study the following problems. (1) Through fully exploiting the special structures of linear response eigenvalue problems, we will design weighted Golub-Kahan-Lanczos algorithm with the projection matrix being Hermitian to reduce the cost and storage. (2) Based on the harmonic projection, the harmonic weighted Golub-Kahan-Lanczos algorithm will be proposed, and its Rayleigh-Ritz convergence theories will also be established. It is a beneficial exploration for linear response eigenvalue problems when using the oblique projection methods. (3) The block form of the above algorithms are extended to solve multiple eigenvalues simultaneously. At the same time, we also consider the accelerating strategy, and the convergence theories. The new theories and new subspaces algorithms proposed in this project aims to develop and promote the theory and algorithms systems of the linear response eigenvalue problems. Therefore, the research results will provide efficient algorithms and theoretical basis for the computations of energy excitation in electronic structure system.

线性响应特征值问题在量子力学、核物理和凝聚态物理学等领域具有广泛的应用，然而，该问题的数值算法仍存在许多待完善的地方。本项目在前期工作的基础上，将深入研究以下几个内容：（1）通过深入挖掘线性响应特征值问题的特殊结构性质，构造投影矩阵为Hermitian矩阵的加权Golub-Kahan-Lanczos算法，减少对问题求解的运算量与存储量；（2）基于调和投影技术，提出调和加权Golub-Kahan-Lanczos算法，并建立算法的Rayleigh-Ritz收敛性理论，这也是应用斜投影方法于线性响应特征值问题的另一个有益探索；（3）推广新算法至Block形式，并考虑其加速技术，能够解决同时求解多个特征值的需要。本项目提出的一整套新型子空间类算法及其理论，有望发展并促进线性响应特征值问题的理论与算法体系的完善，研究结果将为电子结构系统中能量激发态的计算提供高效的计算方法以及相应的理论依据。

线性响应特征值问题在量子力学、核物理和凝聚态物理学等领域具有广泛的应用，然而，该问题的数值算法仍存在许多待完善的地方。本项目在前期工作的基础上，深入研究了以下几个内容：（1）首次提出加权Golub-Kahan-Lanczos双对角化算法，有效地将原问题转化为投影矩阵为Hermitian矩阵的特征值问题，进一步提高了算法的收敛速度，并给出用Golub-Kahan-Lanczos方法来求解线性响应特征值问题的Rayleigh-Ritz收敛性定理，分析新算法构造的近似特征对的精度和近似程度。（2）根据原问题的结构特征以及调和Rayleigh-Ritz投影的技术特点，提出了调和加权Golub-Kahan-Lanczos算法，同时给出调和Ritz值和调和Ritz向量分别与真实特征值和真实特征向量的近似程度理论，最后，采用重启动加速技术，构造了适用于求解线性响应特征值问题的调和加权Golub-Kahan-Lanczos的稠密重启动算法。（3）针对特征值束问题，提出加权块Golub-Kahan-Lanczos方法，有效地求解线性响应特征值问题的所有或部分聚集在一起的特征值，并分析给出某个特征值束及其对应的特征空间的近似误差界。此外，为了加速新算法，使得新算法更加实用，本项目利用线性响应特征值问题的特殊结构性质，提出加权块Golub-Kahan-Lanczos的稠密重启动算法。本项目提出的一整套新型子空间类算法及其理论，发展并促进了线性响应特征值问题在双对角化方向的理论与算法体系的完善，研究结果为电子结构系统中能量激发态的计算提供高效的计算方法以及相应的理论依据。