框架理论及其在采样定理中的应用

The frame theory is active in the study of wavelet analysis since it has been widely used in the characterization of function spaces, signal and image processing, and many other fields. The construction of dual frames is a fundamental problem in frame theory, which is also needed in applications. For Gabor frames, known results are concerned only with the case when the window function is compactly supported and the modulation parameter and the support length of the window function satisfy some relationship. For the general case, even if the window function is compactly supported, there is no explicitly construction for the dual frame. For the construction of dual wavelet frames, known results are much little. We will study the construction of dual frames when the window function or wavelet function satisfies some smoothness and decay conditions. We hope to get explicit formula for the dual of given Gabor or wavelet frames under mild assumptions. Since the wavelet frame might not be able to provide a numerically stable expansion for every function in a space other than L2, and might not be complete, it is necessary to study the completeness of wavelet frames in various function spaces. We will study how to determine whether a matrix dilated wavelet frame is complete or not in frequently used function spaces. Finally, we will apply the construction of dual frames to the sampling theorem and hopefully give new reconstruction algorithm.

框架理论是小波分析中比较活跃的一个研究领域，广泛应用于函数空间刻画、信号和图像分析等很多领域。对偶框架的构造是框架理论研究中的基本问题。对于Gabor框架，目前结果仅给出当窗函数具有紧支集并且调制参数与窗函数的支集长度满足一定关系时对偶框架的显式构造方法。对于一般情形, 即使窗函数具有紧支集，也没有显式的对偶框架构造方法。对偶小波框架的构造方面的结果则更少。我们将研究窗函数或小波函数满足适当的光滑和衰减条件时对偶框架的构造方法，希望在较一般条件下得到对偶框架的显式表达式。由于小波框架在L2之外的Lebesgue空间也许不能为每个函数提供一种系数稳定的展开式，有时甚至可能是不完备的，因此，研究小波框架在各种函数空间的完备性是十分必要的。我们将研究判断矩阵伸缩小波框架在常见函数空间完备性的方法。此外，我们将把对偶框架的构造方法应用于采样定理，希望给出新的采样重构算法。

本项目主要研究框架理论及其在采样定理中的应用，包括丢失框架系数的恢复和相应框架及其对偶的构造、线性正则变换域频谱有限信号的采样重构等。此外，我们还研究了多线性奇异积分算子的有界性。.对于框架理论，主要研究丢失框架系数的恢复和相应框架及其对偶的构造方法。由于网络系统的不稳定性，数据在传输过程中经常发生丢包现象。如何从部分框架系数恢复丢失的信号，是应用中急需解决的问题。对于具有冗余度的框架展开系数，我们提出一种新的算法，能够快速恢复丢失的框架系数，进而重构原始信号。我们提出自定位鲁棒框架的概念，证明对于这类框架，能够从无顺序的部分框架系数重构原始信号。我们利用素数的性质给出鲁棒框架和自定位框架的显式构造方法。我们研究部分框架系数缺失条件下的相位恢复问题，证明对于合适的框架，能够从信号的部分无顺序框架系数的绝对值在相差一个全局符号的意义下恢复原始信号，并给出满足此性质框架的充分必要条件以及具体的框架构造方法。.采样定理是现代脉冲编码调制通信系统的理论基础，也是信号分析中最强有力的基本结果之一。我们研究了线性正则变换域频谱有限随机信号的采样理论，给出重构公式，并对混淆误差和截断误差进行系统研究，把普通信号采样定理的一些结果推广到线性正则变换域频谱有限随机信号。在多线性算子的加权估计方面，主要研究多线性分数次积分算子和相应的极大算子的加权有界性，得到当Lebesgue空间指数满足一定条件时算子界关于权常数的最佳估计。.本项目有18篇论文发表在IEEE Transactions on Information Theory和 Applied and Computational Harmonic Analysis等SCI期刊。