非线性发展方程的稳定性与分支及其在生命科学中的应用

This proposal has two goals. The first goal is to study the dynamics of nonlinear evolution equations in Banach spaces, including the stability, multi-parameter bifurcations, periodic solutions of nonautonomous equations. The techniques and methods that used are integrated semigroup theory, spectral theory and bifurcation theory. The second goal is to construct some realistic structured models in life sciences, including nonlocal within-host immune-viral infection model, seasonal age-structured schistosomiasis models, and so on. The theoretical results developed in the first part will be used to investigate the nonlinear dynamics of these models to design effective control and prevention measures.

本项目进一步研究非线性发展方程的动力学，包括解的稳定性、多参数分支、非自治方程的周期解等问题, 用到的工具包括半群理论、谱分析理论、动力系统分支理论等。然后针对生命科学中的一些实际问题构件现实的结构性数学模型，如非局部免疫-病毒动力学模型、带年龄结构和季节性的血吸虫病模型等，再将所得理论讨论这些模型的非线性动力学，探讨控制这些感染或疾病的有效措施。

一些双曲型偏微分方程，时滞微分方程，带非线性边界条件的抛物型偏微分方程，分子生物学中的细胞模型，人口动力学中的年龄结构模型等都可以写成定义域非稠的非线性发展方程。研究抽象空间上的半线性方程的经典工具是连续半群理论，但利用该方法通常仅能讨论解的基本性质而不能研究解的动力学行为。另外，定义域非稠的抽象方程的解生成的不再是连续半群，而是积分半群。最近，申请人和Magal、刘志华等在一系列文章中进一步发展了积分半群理论并用该理论系统地研究了定义域非稠的抽象方程的非线性动力学。特别是我们发展了定义域非稠的抽象方程的中心流型理论、Hopf分支定理、正规型理论等，并将这些理论用来研究由一阶双曲型偏微分方程、时滞微分方程、反应扩散方程等描述的生物医学模型。本项目进一步研究非线性发展方程的动力学，包括解的稳定性、多参数分支、非自治方程的周期解等问题, 用到的工具包括半群理论、谱分析理论、动力系统分支理论等。然后针对生命科学中的一些实际问题构件现实的结构性数学模型，如非局部免疫-病毒动力学模型、带年龄结构和季节性的麻疹模型、肿瘤与免疫细胞作用模型、等等，再将所得理论讨论这些模型的非线性动力学，探讨控制这些感染或疾病的有效措施。在2020年之后，申请人和基金组成员克服新冠疫情带来的重重困难，继续按照基金申请中拟定的研究计划开展了研究工作，特别地我们参与了对新冠病毒的传播动力学的建模和模拟研究。针对湖北省和重庆市的地理相连、交通便利、人口来往频繁，以及新冠病毒感染严重等特点，我们构建了斑块传染病模型来刻画新冠病毒在这两地传播和扩散。结合两地的疫情数据我们探讨了控制疾病异地和局部扩散的措施，肯定了我国前期控制措施的有效性。我们还根据韩国今年3月到5月的新型冠状病毒传播疫情建立模型，通过定性分析和拟合韩国感染人数数据，阐述了疫情控制中加速检测和隔离的重要性。申请者和合作者在执行项目期间不但完成了申请书中的计划课题研究，而且根据形势也积极介入了对新冠病毒疫情的数学建模和数值模拟。所得结果一方面具有理论价值，另一方面也具有实用价值也现实指导意义。