一类含参广义方程的隐函数定理及其应用

Due to the limitation of existed generalized equation models in application of nonsmooth optimization, this proposal plans to study the well-posedness properties of the solution mapping associated to a class of parametric generalized equations determined by the sum of two set-valued functions under the paradigm of implicit function theorems. Considering the close relationship between parametric stochastic generalized equations and nonsmooth stochastic equilibrium problems, by virtue of combining the techniques of variational analysis and stochastic programming, we will investigate the existence and stability theory of the solution mapping of (PSGE) under the variation of general probability measure and expect to make contributions to the perturbation theory of stochastic optimization.

动机于现有广义方程模型在非光滑优化应用中的局限性，本项目拟在隐函数定理框架下研究一类由两个集值映射之和确定的参数广义方程(PGE)解映射的适定性性质。考虑到参数广义方程的随机模型(PSGE)与非光滑随机均衡问题之间的密切关系，我们将结合变分分析与随机规划的理论，拟对(PSGE)解映射在广义概率测度逼近下的存在性及稳定性展开研究，预期对随机优化的扰动分析理论做出贡献。

本项目主要针对由两个集值映射之和构成的参数广义方程解映射的适定性性质及其在一类非线性规划、随机规划问题中的应用进行了深入研究，取得了如下主要成果：（1）建立了参数广义方程隐式解映射具有类Lipschitz性质和度量正则性的充分条件，并给出其模的确切估计式，将已有隐函数定理推广至双参变量的多值情形；（2）建立了一般的扰动参数广义方程隐式解映射具有类Lipschitz性质的充分条件，利用牛顿算法求解该型广义方程，并分析了该型算法的收敛速度，将已有结论从单参变量推广至双参变量的情形；（3）研究了所得广义方程正则性结论在一类非线性规划、随机规划问题中的应用，将对应优化问题转化为广义方程，并利用牛顿型算法进行求解，进一步丰富了正则性理论的应用；（4）建立了一般多值映射具有Hölder强度量次正则性的可验证的充分条件和必要条件，并将其应用于非精确牛顿型算法的局部收敛性分析；（5）在无穷维空间中，利用广义次微分和法锥等工具，给出几种锥不等式系统具有误差界的对偶形式的充分条件，将现有误差界的相关经典结果推广到Hölder的情形。上述成果在优化领域SCI期刊发表论文9篇。