系数不连续的带跳随机微分方程解的研究及其应用

The question of pathwise uniqueness for jump type stochastic differential equations (SDEs) with Lipschitz or Hölder continuous coefficients has been resolved. However, there are few results about the jump diffusion SDEs with discontinuous coefficients. Based on the weak existence, weak uniqueness and the local time technique, the applicant has proved the pathwise uniqueness for two classes SDEs. The first one is the SDEs with discontinuous coefficients and the jumps is of bounded variation, the second one is the pure jump SDEs with unbounded variation and the coefficients are discontinuous. This approach will be applied to study the pathwise uniqueness for the SDEs whose coefficients are discontinuous and jumps is of unbounded variation. We will also apply this kind of SDEs to the insurance company, and figure out the ruin problems. In addition, this project will study the pathwise uniqueness for two-dimensional case.

系数是Lipschitz连续或者Hölder连续且带跳的随机微分方程强解的存在唯一性问题已经得到解决，但系数是不连续的带跳随机微分方程的解的存在唯一性问题有待于进一步深入。申请人在前期研究中，通过证明弱解的存在，弱解的唯一性以及研究方程解的局部时在0点关于空间变量的连续性，证明了两类随机微分方程有唯一的强解。第一类是系数不连续，跳是有界变差的随机微分方程，第二类是系数不连续，跳是无界变差的纯跳随机微分方程。本课题拟采用上述方法研究系数是不连续的，跳是无界变差的随机微分方程解的存在唯一性问题，并且将该方程应用到保险行业，计算风险资产的破产概率等问题。另外，本课题还将探讨二维的带跳随机微分方程的解的存在唯一性问题。

系数是Lipschitz连续或者Hölder连续且带跳的随机微分方程强解的存在唯一性问题已经得到解决，但系数是不连续的带跳随机微分方程的解的存在唯一性问题有待于进一步的深入。本项目在前期的研究基础上，进一步研究了两类随机微分方程解的存在唯一性，以及这两类方程在相关领域的应用。第一类方程是系数不确定的随机微分方程，所谓的不确定指的是漂移项的系数是不连续的，并且只取两个常数值。这类随机微分方程在金融市场上有着广泛的应用，比如股票市场通常在熊市牛市这两种状态之间切换，回报率也相应地不同，这对应于漂移项系数不连续且只取两个值。这类方程解的存在唯一性问题已得到解决，我们着重研究被这类方程驱动的股票的均值-方差投资组合问题。我们证明了这个市场是完备的，并且得到了该投资组合问题的最优解。另外我们还用Clark-Ocone公式给出了最优的数值解。第二类方程是系数依赖于平均场的随机偏微分方程。这类方程来源于粒子分支系统，该系统的粒子被布朗运动驱动，生灭的过程取决于周边粒子的密度，当粒子数量趋于无穷的时候，它的密度满足一个系数依赖于平均场的随机偏微分方程（平均场超布朗运动）。我们运用两步逼近的办法证明了这类方程解的存在性。在满足一定的条件下，也就是系数依赖于均值的时候， 我们证明了这类方程解的弱唯一。这类方程解的存在唯一性问题的解决有利于把该模型应用于金融数学，Reaction Network，生物数学等领域上。