集优化问题解集的连通性和稳定性研究

Set optimization problems have extensive application in many branches of pure and applied mathematics such as optimal control problems, vector optimization problems, vector variational inequalities, inverse problems for partial differential equations, fuzzy optimization problems, image processing problems, mathematical economics and differential inclusions. The main purpose of this project is to study the theories with applications for connectedness and stability of solution sets of set optimization problems. The main tasks of this project include (i) to establish a scalarization result for weakly efficient solution set of set optimization problems and a density result for efficient solution set of set optimization problems; (ii) to study connectedness and path connectedness of weakly efficient solution set of set optimization problems and connectedness of efficient solution set of set optimization problems, which provide a theoretical basis for solving set optimization problems; (iii) to discuss upper semicontinuity, lower semicontinuity, continuity, Lipschitz continuity and Hölder continuity of weakly efficient solution mapping and efficient solution mapping to parametric set optimization problems; (iv) to show some applications to estimate the variation range of the solution sets for perturbation problems in some practical areas. The study of the present project could not only enrich and develop theory, methods and algorithms for set optimization problems, but also be of great importance for both theory and application to the science and technology.

集优化问题在纯数学和应用数学的很多分支都有广泛的应用，比如最优控制问题、向量优化问题、向量变分不等式、偏微分方程的逆问题、模糊优化问题、图像处理问题、数学经济和微分包含问题等。本项目主要研究集优化问题解集的连通性和稳定性的理论及应用。建立集优化问题弱有效解集的标量化结果和集优化问题有效解集的稠密性结果；研究集优化问题弱有效解集的连通性和道路连通性以及集优化问题有效解集的连通性，为求集优化问题解的算法提供理论依据；讨论含参集优化问题弱有效解映射和有效解映射的上半连续性、下半连续性、连续性、Lipschitz连续性和Hölder连续性；作为应用，估计实际领域中一些扰动问题解集的变化范围。本项目的研究不仅可以丰富和发展集优化问题的理论、方法和算法，而且可以用于解决产生于科学研究和工程技术中的现实问题，具有重要的理论意义和实际应用价值。

由于很多优化问题的目标映射不是单值映射，而是集值映射，因此集优化问题的研究是极为重要的。集优化问题解集的连通性和稳定性是优化理论中的一个重要而活跃的研究课题。本项目主要围绕集优化问题解集的连通性和稳定性的理论及应用进行了较为系统和深入的研究，获得了如下重要的结果：（1）建立了集优化问题弱极小解集的标量化结果和极小解集的稠密性结果。利用标量化方法，研究了集优化问题极小解集和弱极小解集的连通性和弧连通性。（2）提出了集值映射的锥拟连通性和严格锥拟连通性以及一种新的集值映射序列的收敛性。利用锥拟连通性和严格锥拟连通性研究了关于扰动可行域和目标映射的集优化问题极小解集和弱极小解集的Painlevé-Kuratowski收敛性。（3）得到了广义oriented距离函数和广义Gerstewitz函数的一些性质，特别是凸性、连续性和Lipschitz连续性。利用广义oriented距离函数和广义Gerstewitz函数的凸性和Lipschitz连续性，研究了含参集优化问题强近似解映射的Lipschitz连续性。（4）研究了关于改进集的集优化问题各种解集之间的关系以及解集的闭性和凸性。在适当的条件下，建立了关于改进集的含参集优化问题解映射的上半连续性、Hausdorff上半连续性和下半连续性。上述问题研究所得的结果，丰富和发展了集优化问题的理论和方法，可以用于解决产生于科学和工程中的实际问题，有广泛的应用前景。