可积映射的构造、判别与可反转映射的不变曲线及其群结构

可积映射和可反转映射所构成的离散系统与连续系统的Poincaré映射、离散的Shr?dinger方程、Jacobian猜想、混沌加密以及物理学的多个领域（包括统计力学和量子引力）有着密切的联系。通过对这两类离散系统的研究，可以更加深入地理解差分方程，得到其不变量以及解的对称性质。本项目利用多变量函数方程的理论和离散化方法构造一类新的区别于著名的QRT映射和HKY映射的可积映射；利用可积映射通常具有较低的复杂性，结合Nevanlinna理论，设计出一种针对非有理映射可积性的判别方法；利用数学实验的手段，刻画可反转映射当参数变化时，从非可积到可积的变迁过程和临界值；利用或弱化Brjuno条件来处理小除数问题，证明一类可反转映射的解析不变曲线的存在性；在可反转映射规范型的基础上，刻画一类有理可反转映射形成群的结构。通过这些研究能够深入刻画这两类映射的动力学性质，理解它们与其它映射区别的本质。

本项目主要研究了可积映射与可反转映射构成的离散动力系统。可积映射和可反转映射都满足特定的共轭方程。我们利用函数方程的理论，构造了共轭方程的同胚解和线性函数方程在群上的通解；利用数学实验和分析的手段，研究了几类包含共轭方程的离散系统的稳定性与不稳定性；利用离散化方法，得到了周期映射所有的首次积分以及迭代根；利用Brjuno条件证明了一类可反转映射的解析不变曲线的存在性，克服了在证明过程中的小除数问题。