过完备有理双树复小波变换及其在机械故障诊断中的应用研究

过完备有理小波变换及双树复小波变换均为近似平移不变的冗余小波变换，前者具备很高的时频分辨率，后者能对信号进行解调分析。本项目通过将过完备有理小波变换与双树复小波变换有机结合，提出研究一种新的小波变换方法- - 过完备有理双树复小波变换，它通过两路并行的过完备有理小波变换实现，具有近似平移不变性及很高的时频采样密度和解调精度，从而非常适用于早期故障和复杂故障的特征提取。本项目将综合应用多种理论和方法，建立过完备有理双树复小波变换的小波框架，研究其重要性质，推导使两路有理离散小波变换的小波基形成Hilbert变换对的滤波器约束条件，然后给出具有给定消失矩的滤波器组的时域设计方法及更具柔性的频域设计方法。在此基础上，本项目将建立基于过完备有理双树复小波变换的故障诊断方法，并将其应用于风力发电齿轮传动系统的故障诊断。本项目具有鲜明的创造性，对小波理论和故障诊断技术的发展也具有重要的科学意义和学术价值。

在国家自然基金委和重庆大学的大力支持下，通过本项目组全体成员的共同努力，已圆满完成了计划任务书所下达的全部研究任务。本项目研究了一种新的小波变换方法，即过完备有理双树复小波变换，它具备冗余小波变换的近似平移不变性，同时又结合了过完备有理离散小波变换的高时频采样密度和双树复小波变换的解调特性，因而既具有很高的时频采样密度，又能实现高精度的解调分析。主要研究成果如下：1）建立了过完备有理双树复离散小波变换的理论框架。提出了过完备双树有理复离散小波变换的滤波器结构；推导了的理想重建条件，并建立了关于小波函数和尺度函数的双尺度方程，给出了尺度系数和小波系数的定义；进而给出了紧框架约束条件，然后根据此条件和相邻尺度之间小波函数和尺度函数之间的关系式，证明了过完备有理双树复小波变换的小波框架是平方可积空间 上的紧框架。推导了使两路有理离散小波变换的小波基形成Hilbert变换对的滤波器约束条件。至此，本项目完备地建立了过完备双树有理复离散小波变换的理论框架。2）在过完备双树有理复离散小波变换理论框架的基础上，本项目着重研究了其滤波器的设计方法。首先采用全通延迟滤波器来近似逼近Hilbert约束条件中的滤波器需要满足的关系式，再利用理想重建条件和多项式欧几里德GCD算法即可求出两个低通滤波器；然后根据多采样率信号处理理论，采用矩阵谱分解方法从其中一支路的理想重建条件方程组中求出满足紧框架条件并具有较好相位的三个高通滤波器；最后根据Hilbert约束条件得到另一支路的高通滤波器。本项目给出了不同阶数和消失矩的小波的构造实例。3）为使发挥其高分析精度及解调精度，本项目提出对其中一支路的三个高频信号分量进行拼接，进而有效避免了频率折叠，提高了信号分析精度。在对齿轮箱输入轴轴承故障诊断的实例中表明，过完备有理双树复离散小波变换对信号分解的时频分辨率很高，能有效提取出故障信号中断微弱特征分量，而且可以直接进行解调分析，无需其他解调技术。以上研究成果已发表和录用高水平论文7篇，获授权实用新型专利1项，申请发明专利3项，培养硕士研究生2人，圆满完成了任务书下达的任务。本项目的理论研究成果是对小波理论的重要完善和发展，且为高精度的早期及复杂机械故障诊断提供了一种新方法。