非负矩阵分解的模型选择与算法研究

非负矩阵分解(NMF)能使对数据的解释变得方便与合理，已逐渐成为信息处理、生物医学工程、模式识别、计算机视觉和图像工程等领域中最受欢迎的工具之一。合适的模型和高效的算法是非负矩阵分解广泛应用的前提，但目前非负矩阵分解的模型选择理论和算法效率都不能满足大规模数据处理的需要，如何评判模型的优劣和构造高效的非负矩阵分解算法是一个非常有意义的研究课题。本项目结合最优化理论和数据挖掘的最新进展，一方面通过深入研究各类数据的特点，结合具体问题的特性，给出模型选择的合理评判标准，另一方面分析已有算法的优缺点，改进其收敛速度及收敛性理论，特别是利用二阶导数信息或将问题转化为约束非线性方程组或非线性互补问题，基于已有的研究成果并结合非负矩阵分解的结构特征，提出高效算法。重点在于建立模型选择的理论和设计快速有效的收敛算法，具有一定的开创性和前沿性，其研究成果将大大推动非负矩阵分解在信息科学等领域中的广泛应用。

本项目在自然科学基金的资助下，重点研究非负矩阵分解（NMF）算法、收敛性分析、相关基础问题及NMF的应用，主要成果表现在以下方面：（1）算法设计方面：研究HALS/RRI算法，提出了NMF的秩二修正算法，在一定程度上克服了HALS/RRI算法的缺陷；结合界约束优化问题的特点，提出针对NMF的两点步长Barzilai—Borwein（BB）梯度算法、非单调投影梯度算法和二次正则投影BB算法等。（2）收敛性分析方面：研究了交替最小二乘法产生点列存在极限点的条件，提出了一些修正策略，保证了极限点的存在，完善了交替最小二乘法的收敛性理论，在此基础上提出了修正交替最小二乘法。通过对NMF问题全局最优解必要条件的研究，提出了修正子空间BB梯度算法。（3）相关基础问题方面：NMF问题可以看作界约束优化，其一阶最优性条件可转化成互补问题。我们研究了线性互补问题、非线性互补问题、随机线性互补问题和变分不等式问题等。在此基础上研究了锥互补问题和半定规划、锥规划等更广的约束优化问题，并提出了相应的算法。（4）NMF的应用方面：研究了NMF在人脸识别和信号处理等信息领域的应用。.发表或录用与项目相关论文38篇，其中SCI收录19篇，EI收录13篇，其余发表在国家核心期刊上。有标注基金资助共29篇，其中SCI收录17篇，EI收录11篇。