椭球面大地测量学的非欧几何特性研究

Previous studies have been showed that the theories and methods of ellipsoidal geodesy have significant characteristics of non-Euclidean geometry. At present, about the ellipsoidal geodesy discussions are generally based on Euclidean geometry principle. In the theory and practice of ellipsoidal geodesy based on Euclidean geometry principle, due to lack of non-Euclidean geometrical establishment, many problems of ellipsoidal geodesy has been more complicate and unclear description. Concentrating on curvature and arc length, geodesic, geodetic problems, coordinate transformation, and map projection by non-Euclidean geometry principle, the project would analyze the non-Euclidean geometrical characteristics of ellipsoidal geodesy, and would obtain the derivations, verifications, analysis and simulations of related principles. The project would realize the ellipsoidal geodesy conversion relationships based on non Euclidean geometry and Euclidean geometry and would provide theoretical and application basis for geodesy.

前期研究表明椭球面大地测量学的理论方法具有明显的非欧几何特性。当前，关于椭球面大地测量学的论述一般都基于欧氏几何原理。在基于欧氏几何原理的椭球面大地测量的理论与实践中，由于没有建立非欧几何的理论体系，许多椭球面大地测量问题都变得更为复杂，甚至难以表述。本项目拟运用非欧几何原理，围绕曲率与弧长、大地线与大地主题解算、坐标转换与地图投影等相关问题开展研究，分析椭球大地测量学的非欧几何特性，并应用3M数学软件（Mathematica、Maple、Matlab）进行相关原理方法的推导、求证、分析与模拟，实现基于非欧几何与欧氏几何的椭球面大地测量的转换关系，为大地测量学相关领域的应用提供理论依据和应用基础。

基于欧氏几何和非欧几何原理，我们对曲率与弧长计算、空间直角坐标与大地坐标转换、高斯投影的复变函数表达、三轴椭球表面积计算、大地线与大地主题解算等经典几何大地测量问题进行简化、优化，使相关大地测量计算更为简洁、精确、高效，并进一步阐释了其内在数学原理本质。该研究成果对经典大地测量问题给予了补充和延伸，并进一步丰富和完善了经典几何大地测量理论。其中，在子午线弧长与高斯投影的统一性理论研究中，进一步简化了子午线弧长正反解公式，并建立起其与高斯投影的复变函数表达的理论关系；在三轴椭球表面积的计算方面，我们推导了一组三轴椭球表面积近似计算的级数展开公式，并对应地给出了三轴椭球退化为扁椭球和旋转椭球时的表面积公式。该组公式通过引入偏心率、第三扁率等扁率，使公式结构上更为简洁，具有对称性，进一步完善了椭球表面积的计算理论；在空间直角坐标与大地坐标的转换方面，通过推导计算，我们得到了空间直角向大地坐标转换的简洁代数解公式。分析及验算表明，该解法为解析的代数解公式，无需迭代或近似，数学模型简洁，计算效率高效且无误差。.本项目研究成果对经典几何大地测量问题给予了一定的补充和延伸，丰富并进一步完善了经典几何大地测量理论。目前，该课题仍有许多亟待进一步深入研究的内容，在下一步的研究工作中，项目组将进一步深化相关问题的研究工作，并期望形成更为系统、科学性的理论体系与应用分析方法。