有限元分析非线性输出验证的熵代理模型及方法研究

The trustworthy of Finite element analysis analysis solutions is directly related to the safety of the structures, so it is unavoidable in current finite element analysis that verifications have to be carried out. In recent years, there are some achievements for the flux or flux-free based upper and lower bounding methods for the verification of linear output. Nonlinear output, however, is still a bottle neck to the verification of finite element analysis, the above methods cannot be directly applied to solve it. Therefore, we must find a new way for solving such kind of problems. In this project, depending on the previous research for the verification of linear and nonlinear outputs, we will introduce the concept of ensemble in statistical physics to the finite element model of continuum mechanics, and convert the primal problem to an ensemble model by a surrogate method, establish the relationship between the variables of non-isolated ensemble and finite element model, and by using the dual relation between the potential energy and entropy, explore the statistical behaviour and character in finite element model, and especially with the solvable maximum of entropy, the research on the verifications of nonlinear outputs in fracture and contact problems will be mainly focused on, and further research will be extended to other kind of interface problems.

有限元分析结果的可信性直接关系到结构的可靠性，对计算结果进行验证分析已成为当今有限元分析无法回避的问题。近些年，基于flux或flux-free的上下界等验证方法研究已取得了一定的成果，但是非线性输出的验证问题现在仍是有限元分析验证研究的瓶颈，上述方法无法直接使用，因此，对非线性输出验证问题的研究必须另辟蹊径。本项目在申请者前期线性和非线性输出验证研究工作的基础上，将统计物理的系综概念引入到有限元模型中，通过代理方法将原问题转化为由有限元节点构成的非绝缘系综模型，探索有限元模型中的统计行为和特征，建立非绝缘系综变量与有限元模型变量之间的对应关系，构造势能-熵对偶关系替代现行的势能-余能对偶关系，利用熵的极大值可达的性质，研究接触、断裂等问题中精确非线性输出的上下界方法，同时也进一步将该模型和方法扩展到解决其它力学的验证问题。

项目在前期工作的基础上，研究了接触力学等非线性输出的验证问题。将统计物理的系综等概念引入到有限元模型中，通过代理方法将原问题转化为有限元节点构成的非绝缘系综模型，建立了非绝缘系综变量与有限元模型变量之间的对应关系，构造了势能-熵对偶关系，利用熵的极大值可达的性质，研究非线性输出的上下界方法。一是开展了统计物理概念同接触力学有限元模型概念的对应关系研究。将原系综和接触力学有限元模型的对应关系进行了改进，如系统的微观态对应归一化的节点接触力变为微观态对应接触状态，微状态的概率对应归一化的节点接触力变为系统占据微观态的概率对应可能接触点（对）的归一化接触力，能量期望值对应接触力做功的期望值变为能量期望值对应接触面非穿透条件。二开展了最小势能原理和最大熵原理之间的对应关系研究。参照亥姆霍兹自由能方程F=E-TS，恒定温度的内能E和熵S是竞争关系，最小化自由能相当于增加熵并降低物体的内能。我们通过利用正则单纯形在凸性、有界性等方面具有的优良特性，将原问题转化为代理对偶问题，正则单纯形的变量可以被视为概率，因此，可以引入熵，并利用最大熵原理和最小势能原理，以正则单纯形的中心为初始值，构造迭代方法，在迭代过程中交替应用两个原理。三是代理对偶问题的构建及其凸性证明及非线性输出的验证及相关数值实现方法研究。我们通过构造一个超水平集，建立了该超水平集同标准二阶锥的映射关系，首次证明了代理对偶目标函数在一定条件下是伪凹的，而一般情况下代理对偶目标函数应该是非凸非凹的。这为进一步研究研究代理对偶问题求解方法提供了良好的基础。有了余能s(λ)的凹性证明后，就可以通过控制λ所在的单纯形约束来求得s(λ)的上界，进而采用原有方法得出应力的上下界。