期权定价问题的高效有限元方法

利用最优剖分与最优插值、积分恒等式与插值后处理等超逼近分析技术，研究各类期权定价问题的有限元超收敛、Richardson外推、迭代与插值校正等高效算法，并籍此构造出相应算法的可靠的后验误差指示子，进而建立高效有限元的自适应算法与并行算法，发展和丰富高效自适应与并行有限元方法的理论与应用。

期权是重要的衍生品之一，它已广泛应用于金融和经济市场中规避风险、套期保值、套利、公司证券定价、风险投资决策、金融资产评估和企业激励制度等领域中。中国外汇交易中心也从2011年4月1日起在银行间外汇市场组织开展人民币对外汇的期权交易，为企业和银行提供更多的汇率避险保值工具。众所周知，期权理论的核心是如何对各类期权进行定价。由于大量的期权定价问题非常复杂，计算规模异常巨大，因此提高数值方法的计算效率至关重要。. 本项目利用最优剖分与最优插值、积分恒等式与插值后处理等超逼近分析技术，研究了各类期权定价问题的有限元超收敛、Richardson 外推、迭代与插值校正等高效算法，并籍此构造出了相应算法的可靠的后验误差指示子，进而建立了高效有限元的自适应算法与并行算法，发展和丰富高效自适应与并行有限元方法的理论与应用。. 此外，本项目还以海平面和温度为标的资产，建立了度量气候变化风险的实物期权偏微分方程模型，并采用数值方法进行了求解。我们同时还给出了数值方法的稳定性与收敛性分析；研究了跳扩散模型下、随机便利收益下、标的资产非对数正态分布下的碳衍生品的定价问题。我们采用金融学上传统的无套利定价原理，利用随机过程、伊藤引理等数学工具推导出了碳衍生品价格所满足的偏微分方程。这些偏微分方程通常无法解析求解，我们采用了一种所谓的拟合有限体积方法进行数值求解，并给出了算法的稳定性、收敛性分析；以温度指数为标的资产，同时将极端天气情形下，温度大幅变化这一跳扩散现象考虑进来。由于温度指数这一标的资产无法交易，我们采用一种特殊的对冲方法——偏对冲，建立了天气期权价格所满足的偏微分方程模型，并采用半拉格朗日法与拟合有限体积法相结合的数值方法求解，并给出了算法的稳定性与收敛性分析；分别讨论了相邻地区之间的跨界工业污染问题，与市场中大量生产者生产决策的平均场博弈问题。在这两个问题中，各个博弈者的收益所满足的值函数，都可以用HJB方程（组）来刻画。通过采用拟合有限体积方法求解HJB方程（组），我们得到了各个博弈者的均衡策略。