有限偏差调和映照的若干性质

拟共形调和映照在偏微分方程、模空间、Teichmüller理论等领域有着广泛的应用。作为拟共形调和映照的推广，有限偏差调和映照除了在这些领域有同样应用之外，在材料学科中的非线性弹性和临界相变的理论研究中也有重要应用前景。可见对有限偏差调和映照理论的研究具有重要意义。.本项目主要探索有限偏差调和映照的连续模、极值性、模不等式和单叶性半径估计(如Bloch常数估计)等问题。借鉴拟共形调和映照的研究方法，结合有限偏差映照特有的性质，展开对这些问题的研究。利用典型域的几何特征和梯度估计结合伸张特性来探索有限偏差调和映照的连续模；刻画度量特性，建立Schwarz-Pick型引理，获得Bloch型定理；研究边界特征，获得极值性；借助带势面积偏差估计和调和函数梯度的模的可积性来研究模偏差不等式。研究成果以论文的形式出现，预计在国内外重要刊物上发表8－10篇论文。

拟共形映照及其推广有限偏差映照是复分析的重要研究分支之一，具有一定调和性的有限偏差(拟共形)映照具有更优良的性质且与偏微分方程紧密相关，在其它学科有应用。我们完成了预期研究计划，得到指定调和性有限偏差(拟共形)映照的连续模、极值性、边界特征和Bloch和Landau常数等方面的主要结果如下：首先，建立了这些映照类精确或渐进精确的Schwarz和Schwarz-Pick型引理、面积偏差估计与系数估计；第二，给出调和微分同胚可复合和可逆的充要条件，和双曲双Lipschitz连续的条件与常数估计；第三，给出(K,K’)拟共形调和映照的边界特征和连续模；第四，应用调和映照研究Iwaniec猜想和Burkholder-Wang问题,获得K-拟共形映照的Burkholder积分的下界精确估计；第五，得到调和映照的拟共形性三个判别法则，以及获得指定标准化条件下调和映照的Bloch常数和Landau常数等单叶性半径估计；最后，给出了穿孔圆盘的拟双曲长度偏差估计。本项目在以上方面已发表或已录用标注基金号11101165的期刊论文20篇(包括2篇已录用文章)，其中SCI收录期刊9篇，国内权威刊物5篇。