万有Teichmuller空间理论中的若干问题

The research project is concerned with two related topics， one is about the pull-back operator induced by a quasisymmetric homeomorphism, the other is about various subspaces of the universal Teichmuller space including Weil-Petersson Teichmuller space, BMOA Teichmuller space, VMOA Teichmuller space and the chord-arc curve space. These two topics have found many applications to complex analysis, real analysis, harmonic analysis and partial differential equation. We hope to use the pull-back operator to give some new characterizations of the VMOA Teichmuller space and the chord-arc curve space. We will discuss the continuous and the smooth dependence of this operator on these subspaces. Furthermore, we will discuss the compatiblity between the standard complex Banach structure in the Ahlfors-Bers sense and the one induced by the embedding through the logarithmic derivative of quasisymmetric homeomorphism. This will enable us to demonstrate a conjecture on Weil-Petersson flow posed by Gay-Balmaz and Ratiub, and provide a new approach to solving the problem of the connectedness of the chord-arc curve space.

本项目将研究万有Teichmuller空间理论中两个密切相关的课题：由拟对称同胚所诱导的拉回算子和万有Teichmuller空间中的一些子空间，包括 Weil-Petersson Teichmuller空间、VMOA Teichmuller空间以及弦弧曲线空间。这两个课题在复分析、实分析、调和分析、偏微分方程等其它数学分支中有着重要的应用。我们期望通过由拟对称同胚所诱导的拉回算子来给出VMOA Teichmuller空间以及弦弧曲线空间新的刻画，并讨论该拉回算子在这些子空间上关于拟对称同胚的连续依赖性以及光滑依赖性，进而讨论这些子空间上在Ahlfors-Bers意义下的经典复结构以及由拟对称同胚的对数导数嵌入所诱导的复结构之间的相容性。这些问题的解决将证实Gay-Balmaz和Ratiu关于Weil-Petersson流的一个猜测，并给弦弧曲线空间连通性问题的研究提供一条新的途径。

利用BMO空间理论讨论BMOA-Teichmuller 空间和VMOA-Teichmuller空间以及它们上面的纤维空间的几何拓扑结构，建立了这些空间的光滑流形结构并证明了它们的可缩性。利用弦弧曲线空间，引入了增广BMOA-Teichmuller 空间的概念，并利用BMO拓扑给出了它的复流形结构。证明了对称Teichmuller空间具有自然的复Banach流形结构，并证明了小Teichmuller空间是对称Teichmuller空间的真正子空间。通过Weil-Petersson拟对称同胚的对数导数给予Weil-Petersson Teichmuller曲线一个Hilbert流形结构，并证明该结构与经典的复Hilbert流形结构是实解析相容的。利用这个结果，给出了指数为3/2的Sobolev向量场的拟对称流在Hilbert流形结构下的连续可微性的一个快速证明，同时也给出了Weil-Petersson拟对称同胚的内蕴刻画的一个全新的证明。在更宽泛的条件下，给出了spiral-stretch映射是极值映射的一个十分简单的证明，并证明了spiral-stretch映射的唯一极值性。