共形几何中完全非线性椭圆方程的边值问题

The prescribed curvature problems of conformal metrics on closed Riemannian manifolds are classical problems in conformal geometry. The most celebrated examples are the Yamabe problem and its higher order extensions. These problems can be tackled by solving related partial differential equations on closed Riemannian manifolds. In this project, we study the prescribed curvature problem of conformal metrics on Riemannian manifolds with boundary. If the conformal metric is given its value on the boundary as a prescribed metric, the problem is equivalent to the Dirichlet boundary value problem of the equation, while if the mean curvature of the boundary with respect to the conformal metric is prescribed, it is equivalent to the Neumann boundary value problem of the equation. Usually, the existence of a solution can be obtained by the continuity method and degree theory based on the a priori estimates for solutions. Therefore, the project mainly focuses on the a priori estimates for solutions of the two kinds of boundary value problems, especially on C^0 estimates and estimates for the second order derivatives of solutions on the boundary. Finally, we shall prove the existence of solutions under various conditions.

闭黎曼流形上共形度量的预定曲率问题是共形几何中的经典问题，例如其中最著名的例子有Yamabe问题及其推广高阶Yamabe问题。Yamabe问题及其推广问题可以通过求解闭流形上的偏微分方程来解决。本项目研究带边黎曼流形上的共形度量的预定曲率问题。如果共形度量限制在边界上等于给定度量，则问题等价于方程的Dirichlet边值问题，如果流形边界相对于共形度量的平均曲率是给定的，则问题等价于方程的Neumann边值问题。通常建立起边值问题解的先验估计后，由连续性方法和度理论可以得到解的存在性。因此，本项目重点研究两类边值问题解的先验估计，特别是解的C^0估计和二阶导数的边界估计。最后，我们将证明不同条件下方程解的存在性。

黎曼流形上的共形度量的预定曲率问题在共形几何的研究中起重要作用。本项目研究带边黎曼流形上的共形度量的预定曲率问题。对于给定的边界约束，该问题可转化为一个二阶椭圆偏微分方程的边值问题，如Dirichlet边值问题或者是Neumann边值问题。本项目通过研究Dirichlet边值问题的解在流形边界上的二阶先验估计证明了此类预定曲率问题的可解性。..我们对于Neumann问题的研究也取得部分成果。首先对于一般Riemann流形上的完全非线性方程，我们证明了方程解的内部梯度估计以及边界梯度估计。其次，对于一类新出现的完全非线性方程，我们证明了这类方程是严格椭圆的，据此我们证明了该类型复Hessian方程的Neumann问题是可解的。这一结果的亮点是不需要对区域边界添加任何假设。..我们对于如何建立完全非线性椭圆方程解的二阶先验估计也得到了一些结果。我们将实Hessian方程的结果推广到了Hermitian流形上的复Hessian方程上去。我们首先研究了复方程的解在锥Gamma_n中时的二阶先验估计，随后建立了解在锥Gamma_{k+1}中时的二阶先验估计。最后我们证明了一类更广泛的复Hessian方程的解在锥Gamma_{k+1}中时的二阶先验估计。