泛函空间上梯度流及其应用

This Project combines the space theory, nonlinear analysis and differential equation theory, and aims to find new methods for constructing gradient flows by considering the space structure and the corresponding functional. Furthermore, we will apply the method to analyze the asymptotic behavior of complex dynamic systems. The contents can be summarized as follows: (1) Find the relation between the evolution equations and gradient flows in natural spaces, and give new approach for asymptotic behavior analysis of evolution equations. (2) Establish a abstract framework for the gradient flows on metric spaces by using the space embedding, and further disclose the essential nature of the Wasserstein metric on probability spaces. (3) Apply the theory of gradient flows to the analysis of Kuramoto model, Cucker-Smale model and distributed optimization problems. This program will enrich and develop the theory of functional spaces, and give new attempt for solving nonlinear problems by using gradient flows.

本项目综合应用空间理论、非线性分析和微分方程等手段，通过空间结构和其上定义的泛函两者之间的匹配，寻找构造梯度流的新方法，进而应用于处理复杂动力系统的渐近行为分析。具体研究内容概述为：(1) 建立发展方程与自然结构下梯度流之间的联系，为发展方程解的大时间行为分析提供新方法；(2) 通过空间嵌入的思想，建立度量空间上梯度流的抽象框架，以期揭示概率测度空间上Wasserstein度量的泛函空间本质；(3) 将所建立的梯度流理论应用于Kuramoto模型、Cucker-Smale模型和分布式优化问题。本项目的研究不仅是泛函空间理论方法与应用的丰富和发展，而且为梯度流理论处理非线性问题提供新的尝试。

项目基于泛函空间理论，微分方程和最优化的相关理论，建立分析具有梯度结构的动力系统大时间行为的理论，进而应用于多智能系统和分布式优化。具体包括以下四个方面的研究：(1)通过空间嵌入以及Lojasiwicz不等式，建立了梯度流渐近行为分析的理论框架；(2)刻画了一般拓扑连接情况下Cucker-smale模型具有群体行为的特征；(3)通过梯度流的特征，分析了几类Kuramoto模型同步解的吸引域和稳定性；(4)以微分方程(微分包含)为工具，结合Lojasiwicz指数，设计了几类分布式优化问题的连续求解算法。项目的部分成果有望应用于飞行器(或机器人)编队，模式识别和传感器网络的优化控制。