双线性抛物最优控制问题有限元方法的超收敛性研究

Optimal control problems have been widely used in many fields such as temperature control problems, air pollution control problems, oil exploiting problems,image processing problems, etc. It is very important to study the efficient numerical method for these problems. So far, finite element has become one of the most used numerical methos for these problems. There have been extensive studies made by experts and scholars, mostly focused on the elliptic control problems, a few on the parabolic control problems. In this work, we will study the superconvergence of finite element methods for optimal control problems governed by bilinear parabolic equations. By variational principle and the conditions of functional minimization problems, we transform a bilinear parabolic optimal control problem into a system, namely a coupled system of state equation, co-state equation and a variational inequality. By linearization, we transform the bilinear optimal control problem into a linear systems. By the finite element method for the spatial discretization, the superconvergence of semidiscrete finite element method are established for the bilinear parabolic optimal control problem. Finally, we discuss the superconvergence of fully discrete finite element method for bilinear parabolic optimal control problems by selecting difference method for the time discretization.

最优控制问题在很多领域具有广泛应用，如温度控制、空气污染控制、石油生产和图像处理等，研究这类问题的高效的数值方法非常重要。到目前为止，有限元是数值求解这类问题的主要方法之一，许多专家学者在最优控制问题有限元方法上做了大量的研究，但主要集中在椭圆最优控制问题，而研究抛物最优控制问题的文献较少。本项目主要研究双线性抛物最优控制问题有限元方法的超收敛性。利用变分原理和泛函极小化问题的条件，我们首先将双线性抛物最优控制问题转化为等价的最优性条件，即求解由状态方程、对偶状态方程以及变分不等式三者联立的系统，针对双线性抛物方程，我们利用Miliner和Park提出的非线性问题的线性化方法，将双线性系统简化成线性系统；其次，我们利用有限元离散空间变量，考虑其半离散有限元逼近的超收敛性；最后，我们利用差分方法离散时间变量，讨论其全离散有限元逼近的超收敛性。

项目的背景：.最优控制问题已经被广泛应用于工程数值模拟与仿真、工程物理及社会经济管理等方面，尤其是双线性抛物最优控制问题在空气热力学问题和流体动力学问题中经常出现，且实际问题的计算规模巨大，对计算的速度及精度要求都很高。因此，研究这类问题的高效数值方法就显得特别重要。..主要研究内容：.1.研究了双线性椭圆和抛物最优控制问题的最优性条件和有限元逼近格式，通过引入一些适当的投影算子，并利用原问题解的正则性，得到了其有限元解的收敛性和超收敛性结果；.2.考虑了障碍型抛物最优控制问题的标准有限元、混合有限元及分裂正定混合有限元离散格式，得出了一些相应的先验误差估计、超收敛性和后验误差估计结果，并构造了相关的自适应有限元算法，最后利用大量的数值算例验证了所得理论结果的正确性；.3.针对积分限制椭圆最优控制问题进行研究，获得了其RT1混合有限元方法最大模误差的超收敛性结果。..重要结果：.在Applicable Analysis、Journal of Applied Analysis and Computation、 Journal of Inequalities and Applications等国内外重要刊物上发表论文8篇，其中SCI期刊论文4篇，ISTP论文1篇。立项湖南省教育厅项目2项，结题湖南省自然科学基金项目及湖南省教育厅项目各一项。..关键数据及其科学意义：.本项目共发表高水平论文8篇，其中SCI期刊论文4篇，ISTP论文1篇，主要研究了抛物最优控制问题有限元方法的超收敛性、后验误差估计和自适应方法，大量的相关数值试验结果验证了理论结果的正确性，增加并改进了双线性抛物最优控制问题数值求解的结果，为以后研究更复杂的实际问题奠定了很好的基础。